Question

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Чему может быть равен угол A треугольника ABC, если про углы треугольника A1B1C1 известно, что ∠A1=44∘, ∠B1=66∘, ∠C1=70∘?

Answer 1

Ответ:   Угол А=68°

Объяснение:

    Треугольник, вершинами которого являются основания высот какого либо треугольника, называется ортотреугольником.

а) В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.

б) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

     Для решения   данной задачи достаточно применить второе из указанных свойств.

     Высоты ∆ АВС перпендикулярны его сторонам.

∠ВВ1 делит угол В1 на два по 66°:2=33°. ⇒ ∠С1В1А=∠ВВ1А-∠ВВ1С1=90°-33°=57°

Аналогично ∠В1С1А=90°-0,5∠А1С1В1=90°-70°:2=55°.

Сумма углов треугольника  180°⇒

∠А=180°-(АС1В1+АВ1С1)=180°-(57°+55°)=68°.  

Углы В и С вычисляются таким же образом:

∠В=57°, ∠С=55°

—————

Обратим внимание на то, что углы при вершинах  ∆ АВС равны разности между прямым углом и половиной угла ортотреугольника при основании высоты из вершины исходного треугольника..

Для угла А=90°- 0,5•угол А1=90°-22°=68°

Для угла В=90°-0,5•угол В1=90°-33°=57°

Для угла С=90°-0,5•угол С1=90°-35°=55°

Answer 2

В данной задаче мы имеем треугольник ABC с высотами AA1, BB1 и CC1. Известно, что углы треугольника A1B1C1 равны ∠A1 = 44°, ∠B1 = 66° и ∠C1 = 70°.

Высоты треугольника пересекаются в его ортоцентре. Обозначим ортоцентр треугольника ABC как H.

Теперь давайте рассмотрим угол A. Угол A треугольника ABC образован сторонами AB и AC. Высота AA1 пересекает сторону BC в точке H. Таким образом, мы видим, что угол A1A в треугольнике A1AB равен углу A в треугольнике ABC (по вертикальным углам).

Таким образом, у нас есть:

∠A1A = ∠A

∠A1A = 44° (по условию)

Следовательно, угол A в треугольнике ABC также равен 44°.

Итак, ответ: ∠A = 44°.