Question

кут, величина якого 60 градусів, вписано два кола, які зовнішньо дотикаються один до одного. Знайдіть радіус меншого з них, якщо радіус більшого кола 12см.

Answer 1

Центры вписанных окружностей О₁ и О₂  лежат на биссектрисе угла А.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания

О₁В ⊥  AD

O₂D ⊥  AD

Пусть r=x; R=12

Катет против угла в 30⁰  равен половине гипотенузы. Значит гипотенуза в два раза больше.

АО₂=24

Прямоугольные треугольники Δ ABО₁  и  Δ ADО₂  подобны по двум углам

Из подобия

О₁В:AO₁=O₂D:AO₂

AO₁=24--12-x=12-x

x:12=(12-x):24   ⇒

x=9

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію. Ми маємо два кола, одне з яких більше за інше, і вони зовнішньо дотикаються одне до одного. Тобто, точка дотику є загальною для обох коліс.

Зауважте, що точка дотику між колами лежить на промені більшого кола. Також, цей промінь є променем меншого кола, який ми шукаємо. Це означає, що між цим променем меншого кола і променем більшого кола виникає пряма лінія, яка є відстанню між центрами коліс.

Величина кута в центрі кола, який відповідає 60 градусам, є третиною величини повного кута (360 градусів). Таким чином, ми можемо визначити величину кута в центрі меншого кола. Запишемо співвідношення:

Величина кута в центрі меншого кола = 1/3 * Величина повного кута = 1/3 * 360 градусів = 120 градусів.

Тепер ми маємо трикутник, у якому вершина центрального кута меншого кола виступає як вершина, а два промені коліс служать його сторонами. Цей трикутник є рівнобедреним трикутником, оскільки дві сторони однакові (промені коліс). Величина цього центрального кута дорівнює 120 градусам.

Застосуємо закон синусів для рівнобедреного трикутника:

sin(60 градусів / 2) / r = sin(120 градусів / 2) / 12,

де r - радіус меншого кола.

Спростимо рівняння:

sin(30 градусів) / r = sin(60 градусів) / 12,

r = 12 * sin(30 градусів) / sin(60 градусів),

r = 12 * (1/2) / (√3/2),

r = 6 / √3,

r ≈ 3.464 см.

Отже, радіус меншого кола близько 3.464 см.