Question

Докажите неравенство ab+ac+bc>3abc

Answer 1

Ответ:

Исходное неравенство запишем в виде  bc + ac + ab ≥ (a + b + c)abc.  Теперь из неравенства задачи 30865 получаем

(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ≥ 3(a + b + c)abc.  Следовательно,  a + b + c ≥ 3abc

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте рассмотрим случай, когда все числа $a$, $b$ и $c$ положительные.

Исходное неравенство: $ab + ac + bc > 3abc$

Для начала заметим, что данное неравенство можно переписать в следующем виде: $ab + ac + bc - 3abc > 0$

Теперь давайте вынесем общий множитель $abc$ за скобку: $ab(1 - 3c) + ac(1 - 3b) + bc(1 - 3a) > 0$

Так как $a$, $b$ и $c$ положительные числа, то каждое из чисел $1 - 3c$, $1 - 3b$ и $1 - 3a$ будет отрицательным (поскольку $0 < a, b, c < 1$).

Теперь рассмотрим три случая:

1. Если $1 - 3c < 0$, то $ab(1 - 3c) > 0$.
2. Если $1 - 3b < 0$, то $ac(1 - 3b) > 0$.
3. Если $1 - 3a < 0$, то $bc(1 - 3a) > 0$.

Во всех трех случаях каждое слагаемое в левой части неравенства положительно. Следовательно, сумма всех трех слагаемых также будет положительна: $ab(1 - 3c) + ac(1 - 3b) + bc(1 - 3a) > 0$

Таким образом, мы показали, что исходное неравенство $ab + ac + bc > 3abc$ выполняется для положительных чисел $a$, $b$ и $c$.

Пожалуйста, обратите внимание, что это доказательство не является исчерпывающим, так как оно ограничено только положительными значениями переменных. Если нужно доказать неравенство для других типов значений переменных, потребуется более общий подход.