Question

1/2!+2/3!+3/4!+5/6!+.....+2020/2021!<1 требуется доказать​

Answer 1

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}=e^x\Rightarrow 1+x\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{(n+1)!}=e^x\Rightarrow \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{(n+1)!}=\dfrac{e^x-1}{x}\;\forall x\in R\backslash \{0\}$

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{nx^{n-1}}{(n+1)!}=(\dfrac{e^x-1}{x})'_x \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{nx^{n-1}}{(n+1)!}=\dfrac{e^xx-(e^x-1)}{x^2}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n}{(n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{n*1^{n-1}}{(n+1)!}=\dfrac{e^1*1-(e^1-1)}{1^2}=1$

$\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{2020}{2021!}$

Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства этого неравенства нам придется воспользоваться анализом ряда.

Рассмотрим сначала члены данного ряда: 1/2! + 2/3! + 3/4! + 5/6! + ... + 2020/2021!

Заметим, что в числителях стоит последовательность натуральных чисел, начиная с 1 и увеличиваясь на 1 с каждым слагаемым. Это можно представить как n, где n - номер слагаемого в ряде.

А в знаменателях стоят факториалы, что эквивалентно (n + 1)!.

Теперь запишем каждое слагаемое в более компактной форме: n/(n+1)!

Теперь мы можем переписать ряд в таком виде: Σ (n/(n+1)!), где сумма идет от n=1 до n=2020.

Давайте проанализируем отдельное слагаемое: n/(n+1)! = 1/((n+1)!) * n

Мы видим, что в знаменателе стоит факториал (n+1)!, который растет очень быстро по сравнению с n. Таким образом, каждое слагаемое ряда растет быстрее, чем любая конечная геометрическая прогрессия, и оно будет стремиться к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Теперь мы можем сделать вывод: так как каждое слагаемое стремится к нулю, а ряд состоит из конечного числа слагаемых, то сумма ряда Σ (n/(n+1)!) от n=1 до n=2020 стремится к некоторому конечному числу, которое будет меньше 1.

Таким образом, данное неравенство верно, и сумма ряда меньше 1:

1/2! + 2/3! + 3/4! + 5/6! + ... + 2020/2021! < 1.