Question

Вычислите производную неявной функции y sin x = cos(x-y)

Answer 1

--------------------------------

Answer 2

Для вычисления производной неявной функции $y \sin(x) = \cos(x-y)$, мы можем использовать метод неявной дифференциации. Давайте начнем с нахождения производной слева и справа от уравнения и затем преобразуем его, чтобы найти производную $y$ по $x$.

1. Начнем с производной слева по $x$:

$$\frac{d}{dx}(y \sin(x)) = y \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \sin(x) \frac{d}{dx}(y).$$

2. Теперь найдем производную справа по $x$:

$$\frac{d}{dx}(\cos(x-y)) = -\sin(x-y) \frac{d}{dx}(x-y) = -\sin(x-y) \cdot 1 = -\sin(x-y).$$

3. Теперь объединим выражения и получим:

$$y \cos(x) + \sin(x) \frac{dy}{dx} = -\sin(x-y).$$

4. Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x-y) - y\cos(x)}{\sin(x)}.$$

Таким образом, производная неявной функции $y \sin(x) = \cos(x-y)$ равна:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x-y) - y\cos(x)}{\sin(x)}.$$