Question

Исследовать на экстремум z= -x^2-y^2-6x+8y+7

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z= -x² -y² -6x +8y +7

шаг 1.

находим критические точки

поскольку функция с двумя переменными идем через частные производные

$\frac{dz}{dx} = -2x-6;$

$\fracdz}{dy} =-2y+8$

решаем систему уравнений

$\left \{ {{-2x-6=0} \atop {-2y+8=0}} \right.$      ⇒  х= -3;  у = 4;   это и есть наша точка экстремума М(-3;4)

шаг 2.

смотрим, это точка минимума или максимума

находим вторые производные и их значение в точке (-3;4)

$A=\frac{d^2z}{dx^2}_{(-3;4)} =-2;$

$C=\frac{d^2z}{dy^2}_{(-3;4)} =-2;$

$B=\frac{d^2z}{dxdy}_{(-3;4)} =0;$

AC - B² = 4 > 0 и A < 0 , значит точка M(-3;4) - точка максимума и значение функции в этой точке  z(-3;4) = 32

ответ

в точке M(-3;4) имеется максимум функции z(-3;4) = 32

Answer 2

Для исследования функции z = -x^2 - y^2 - 6x + 8y + 7 на экстремум, мы должны найти её частные производные по x и y, приравнять их к нулю, и решить систему уравнений. Затем проверим вторые производные, чтобы определить, являются ли найденные точки экстремумами и какого типа они являются (минимум или максимум).

1. Найдем частные производные: ∂z/∂x = -2x - 6 ∂z/∂y = -2y + 8

2. Приравняем их к нулю и решим систему уравнений: -2x - 6 = 0 => -2x = 6 => x = -3 -2y + 8 = 0 => -2y = -8 => y = 4

3. Теперь у нас есть одна стационарная точка (x, y) = (-3, 4).

4. Для определения типа экстремума найдем вторые производные: ∂²z/∂x² = -2 ∂²z/∂y² = -2 ∂²z/∂x∂y = 0

5. Вычислим дискриминант: D = (∂²z/∂x²)(∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² = (-2)(-2) - (0)² = 4

6. Если D > 0 и (∂²z/∂x²) > 0, то у нас есть локальный минимум. Если D > 0 и (∂²z/∂x²) < 0, то у нас есть локальный максимум. В данном случае D > 0 и (∂²z/∂x²) = -2 < 0, следовательно, у нас есть локальный максимум.

Итак, функция z = -x^2 - y^2 - 6x + 8y + 7 имеет локальный максимум в точке (-3, 4). Для нахождения значения этого максимума, подставьте эти значения x и y обратно в исходную функцию z:

z = -(-3)^2 - (4)^2 - 6*(-3) + 8*4 + 7 = -9 - 16 + 18 + 32 + 7 = 32

Таким образом, максимальное значение функции z равно 32, и оно достигается в точке (-3, 4).