Question

№354 Ю.М. Колягин, 10 класс. Максимально подробно . Найти член разложения бинома ( х^(1/3)+1/√x )^12 , содержащий 1/х.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1-й способ.

$(\sqrt[3]{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } )^{12}=C_{12}^0*({\sqrt[3]{x} })^{12}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^0+C_{12}^1*({\sqrt[3]{x} })^{11}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^1+C_{12}^2*({\sqrt[3]{x} })^{10}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^2+\\+C_{12}^3*({\sqrt[3]{x} })^{9}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^3+C_{12}^4*({\sqrt[3]{x} })^{8}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^4+C_{12}^5*({\sqrt[3]{x} })^{7}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^5+\\+C_{12}^6*({\sqrt[3]{x} })^{6}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^6+...=$

$=x^4+12x^{\frac{19}{6}}+66x^{\frac{7}{3}}+220x^{\frac{3}{2}}+495x^\frac{2}{3} +\frac{792}{\sqrt[6]{x} } +\frac{924}{x}+...$

Ответ: $\frac{924}{x}.$

2-й способ.

$1)\ (x+y)^n=\Sigma_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}y^k\ \ \ \ n=12\ \ \ \ k=?$

$(\sqrt[3]{x} )^{12-k}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )k=\frac{1}{x} \\x^{\frac{12-k}{3}}*x^{-\frac{k}{2} }=x^{-1} \\x^{\frac{12-k}{3}-\frac{k}{2}}=x^{-1}\\x^{\frac{24-2k-3k}{6}}=x^{-1}\\\frac{24-5k}{6}=-1\ |*6\\24-5k-=-6\\5k=30\ |:5\\k=6.\ \ \ \ \Rightarrow\\C_{12}^6*(\sqrt[3]{x} )^{12-6}*(\frac{1}{\sqrt{x} } )^6=\frac{12!}{(12-6)!*6!*} *(\frac{\sqrt[3]{x} }{\sqrt{x} } )^6=\frac{6!*7*8*9*10*11*12}{6!*1*2*3*4*5*6}*\frac{x^2}{x^3}=\frac{924}{x} .$

Ответ: $\frac{924}{x}.$

Answer 2

Для нахождения члена разложения бинома (x^(1/3) + 1/√x)^12, содержащего 1/х, мы можем воспользоваться биномиальной формулой. Первым шагом нам нужно разложить каждый член бинома на множители.

Исходный бином: (x^(1/3) + 1/√x)^12

1. Разложим (x^(1/3))^12: (x^(1/3))^12 = x^(12/3) = x^4

2. Разложим (1/√x)^12: (1/√x)^12 = (1^12)/(√x)^12 = 1/x^6

Теперь у нас есть два члена бинома, разложенных на множители: x^4 и 1/x^6.

Теперь мы можем использовать биномиальную формулу для нахождения членов разложения бинома. Формула имеет вид:

C(n, k) * a^(n-k) * b^k

Где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент
• n - степень бинома
• k - порядковый номер члена
• a и b - члены бинома

В нашем случае n = 12, a = x^4, и b = 1/x^6.

Теперь давайте найдем член разложения, содержащий 1/х, то есть член с k = 6, так как 1/x^6 уже содержит 1/х:

C(12, 6) * (x^4)^(12-6) * (1/x^6)^6

C(12, 6) * x^24 * (1/x^-36)

Теперь посчитаем биномиальный коэффициент C(12, 6):

C(12, 6) = 12! / (6! * (12-6)!) = 12! / (6! * 6!)

Теперь вычислим значение C(12, 6):

C(12, 6) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 1320

Итак, член разложения бинома (x^(1/3) + 1/√x)^12, содержащий 1/х, равен:

1320 * x^24 * (1/x^-36)

Теперь упростим это выражение:

1320 * x^24 * (x^36)

Теперь объединим степени x:

1320 * x^(24+36)

1320 * x^60

Итак, член разложения бинома, содержащий 1/х, равен 1320x^60.