Question

№356 Ю.М. Колягин, 10 класс. Максимально подробно . Найти пятый член разложения бинома ( а/√x+√x/а)^m , если коэффициент третьего члена равен 66

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Коэффициент третьего члена разложения бинома Ньютона равен:

$C_n^{3-1}=C_n^2=66\\\frac{n!}{(n-2)!*2!} =66\\\frac{(n-2)!*(n-1)*n}{(n-2)!*1*2} =66\\(n-1)*n=66*1*2\\n^2-n=132\\n^2-n-132=0\\D=529\ \ \ \ \sqrt{D}=23\\n_1=-11\notin\ \ \ \ n_2=12.$

Коэффициент пятого члена разложения бинома Ньютона равен:

$C_{12}^{5-1}=C_{12}^4=\frac{12!}{(12-4)!*4!}=\frac{8!*9*10*11*12}{8!*1*2*3*4} =9*5*11=495.$

Пятый член разложения бинома $(\frac{a}{\sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x} }{a})^m$  равен:

$C_{12}^4*(\frac{a}{\sqrt{x} })^{12-4}*(\frac{\sqrt{x} }{a})^4=495*(\frac{a}{\sqrt{x} })^8*(\frac{a}{\sqrt{x} } )^{-4} =495*(\frac{a}{\sqrt{x} })^{8-4}=495*\frac{a^4}{x^2}.$

Ответ: $\frac{495a^4}{x^2} .$

Answer 2

Для нахождения пятого члена разложения бинома $\left(\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x}{a}}}\right)^m$, нам нужно знать коэффициент третьего члена этого разложения и использовать формулу биномиального разложения.

Сначала определим, что третий член разложения равен 66. Третий член биномиального разложения имеет вид:

$\binom{m}{2} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{m-2} \cdot \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2$

где $\binom{m}{2}$ - биномиальный коэффициент, который можно вычислить как $\frac{m \cdot (m - 1)}{2}$.

Таким образом, мы имеем:

$\frac{m \cdot (m - 1)}{2} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{m-2} \cdot \frac{x}{a}$

Теперь, когда у нас есть значение третьего члена, мы можем решить уравнение:

$\frac{m \cdot (m - 1)}{2} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{m-2} \cdot \frac{x}{a} = 66$

Давайте решим это уравнение для $m$:

$\frac{m \cdot (m - 1)}{2} \cdot \frac{a^{m-1}x}{\sqrt{x}^{m-2}a} = 66$

Упростим это уравнение:

$\frac{m \cdot (m - 1)}{2} \cdot a^{m-1} \cdot \sqrt{x}^{2} = 66$

Теперь мы можем решить это уравнение для $m$:

$\frac{m \cdot (m - 1)}{2} \cdot a^{m-1} \cdot \sqrt{x}^{2} = 66$

$m \cdot (m - 1) \cdot a^{m-1} \cdot \sqrt{x}^{2} = 132$

$m \cdot (m - 1) \cdot a^{m-1} = \frac{132}{\sqrt{x}^{2}}$

$m \cdot (m - 1) \cdot a^{m-1} = \frac{132}{x}$

Теперь давайте найдем корни этого квадратного уравнения для $m$. Мы ищем такие значения $m$, которые удовлетворяют этому уравнению. Решение этого уравнения может быть нетривиальным, и его можно решить численно, используя методы вычислений или программу для работы с уравнениями.

После нахождения значения $m$ вы можете использовать формулу биномиального разложения, чтобы найти пятый член разложения бинома $\left(\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x}{a}}}\right)^m$