Question

№261(3) , учебник Ю.М. Колягин , Алгебра-10 класс. Найти остаток от деления ( 2¹⁹⁹⁵ +5*10³ ) на 3 МАКСИМАЛЬНО ПОДРОБНО, используя теорию только данного учебника.

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

5≡-1(mod3)

10≡1(mod3)⇒10³≡1³≡1(mod3)

5·10³≡-1·1≡-1(mod3)

2≡-1(mod3)⇒2¹⁹⁹⁵≡(-1)¹⁹⁹⁵(mod3)⇒-1(mod3)

2¹⁹⁹⁵ +5·10³ ≡-1+(-1)≡-2≡1(mod3)

2) способ. Можно использовать бином Ньютона или разложение выражений вида aⁿ+bⁿ где степень нечётное число или aⁿ-bⁿ где степень произвольное натуральное.

2¹⁹⁹⁵+1=(2+1)(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1)=3*(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1). Значит это число кратно трём. Пусть 2¹⁹⁹⁵+1=3A

5*10³-5=5*(10³-1)=5(10-1)(10²+10+1)=45(10²+10+1)

Значит и это число кратно трём. Пусть 5*10³-5=3B

2¹⁹⁹⁵ +5*10³=(2¹⁹⁹⁵+1)+(5*10³-5)+4=3A+3B+4=3(A+B+1)+1

Значит  остаток 1

Answer 2

Давайте рассмотрим остаток от деления выражения (2¹⁹⁹⁵ + 5 * 10³) на 3, используя теорию алгебры.

1. Начнем с вычисления остатка от деления 2¹⁹⁹⁵ на 3. В учебнике Ю.М. Колягина представлено свойство деления на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то само число делится на 3.

2¹⁹⁹⁵ представим в виде суммы цифр: 2¹⁹⁹⁵ = 2 * (2¹⁹⁹⁴) = 2 * (2 * 2¹⁹⁹³) = ... = 2 * 2 * 2 * ... * 2 (1995 раз).

Теперь посчитаем сумму цифр числа 2¹⁹⁹⁵. Поскольку каждая цифра равна 2, сумма будет равна 2 * 1995 = 3990.

3. Проверим, делится ли сумма цифр (3990) на 3. Да, 3990 делится на 3, так как 3 делится на 3 и 990 также делится на 3 (990 = 3 * 330). Это соответствует теории из учебника.

4. Теперь перейдем ко второй части выражения: 5 * 10³. Опять же, мы видим, что 10³ делится на 3, так как 1000 = 3 * 333. Следовательно, 5 * 10³ также делится на 3.

5. Теперь объединим обе части выражения и найдем их сумму: 3990 + (5 * 10³) = 3990 + 5000 = 8990.

6. Проверим, делится ли 8990 на 3. Да, 8990 делится на 3, так как 8990 = 3 * 2996 + 2 (остаток равен 2).

Таким образом, остаток от деления (2¹⁹⁹⁵ + 5 * 10³) на 3 равен 2.