Question

Не выписывая всего разложения выражения (x+1/x^2)^10 по формуле бинома Ньютона найдите:1) пятый член разложения2) число членов разложения, являющихся одночленами

Answer 1

K-й член разложения бинома $(x+y)^{k}$ имеет вид

$C^{k-1}_nx^{k-1}y^{n-k+1}$

a)$C^{4}_{10}x^{4}\cdot ( \frac{1}{x^2}) ^{6}=210\cdot \frac{1}{x^8}$

б) 11 слагаемых  в разложении:

$(x+ \frac{1}{x^2})^{10}=x^{10} + 10x^9\cdot ( \frac{1}{x^2})+45x^8\cdot ( \frac{1}{x^2})^2+... \\ \\ +45x^2\cdot ( \frac{1}{x^2})^8+10x\cdot ( \frac{1}{x^2})^9+( \frac{1}{x^2})^{10}$

Сравните
(х+у)²=х²+2ху+у²  -  три слагаемых
(х+у)³=х³+3х²у+3ху²+у³ - четыре слагаемых

Answer 2

Чтобы найти пятый член разложения выражения (x + 1/x^2)^10, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона имеет следующий вид:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, k) * a^(n-k) * b^k + ... + C(n, n) * a^0 * b^n

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n! / (k!(n-k)!), где n! - это факториал числа n.

Для данного выражения (x + 1/x^2)^10, a = x, b = 1/x^2 и n = 10. Пятый член разложения будет иметь вид:

C(10, 4) * x^(10-4) * (1/x^2)^4

Раскрывая биномиальные коэффициенты и упрощая выражение, получим:

C(10, 4) * x^(10-4) * (1/x^2)^4 = C(10, 4) * x^6 * 1/x^8

Обратите внимание, что x^6 * 1/x^8 можно упростить до x^(-2), так как x^6 / x^8 = 1 / x^2.

Теперь найдем биномиальный коэффициент C(10, 4):

C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!) = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 210

Таким образом, пятый член разложения будет равен:

210 * x^(-2)

Ответ: Пятый член разложения выражения (x + 1/x^2)^10 по формуле бинома Ньютона равен 210 * x^(-2).

Чтобы найти число членов разложения, являющихся одночленами, мы можем использовать формулу биномиального коэффициента C(n, k). Одночлены в разложении соответствуют ситуациям, когда степень x в каждом члене равна некоторому числу k, где k - это целое число от 0 до n.

В данном случае, у нас есть выражение (x + 1/x^2)^10, где n = 10. Чтобы найти число членов разложения, являющихся одночленами, мы должны найти количество значений k, для которых биномиальный коэффициент C(10, k) не равен нулю.

Биномиальный коэффициент C(n, k) не равен нулю, если 0 <= k <= n. В данном случае, мы должны найти количество значений k, для которых C(10, k) не равно нулю.

Вычислим биномиальные коэффициенты C(10, k) для всех значений k от 0 до 10 и посчитаем количество ненулевых значений:

C(10, 0) = 1 C(10, 1) = 10 C(10, 2) = 45 C(10, 3) = 120 C(10, 4) = 210 C(10, 5) = 252 C(10, 6) = 210 C(10, 7) = 120 C(10, 8) = 45 C(10, 9) = 10 C(10, 10) = 1

Итак, мы видим, что биномиальные коэффициенты C(10, k) не равны нулю для k от 0 до 10. Следовательно, все 11 членов разложения являются одночленами.

Ответ: Число членов разложения, являющихся одночленами, равно 11.