Question

Для некоторого натурального числа М нашли число N, равное сумме квадратов цифр числа М. Оказалось, что число М больше числа N на 175. Найдите сумму всех таких трёхзначных чисел М.

Answer 1

М - трехзначное число, обозначим его так:

M = 100a + 10b + c

N - сумма квадратов цифр числа M.

N = a^2 + b^2 + c^2

И оказалось, что M на 175 больше N.

a^2 + b^2 + c^2 + 175 = 100a + 10b + c

a^2 - 100a + b^2 - 10b + c^2 - c + 175 = 0

(a^2 - 2*50a + 50^2) - 50^2 + (b^2 - 2*5b + 5^2) - 5^2 + (c^2 - 2*(1/2)*c + (1/2)^2) - (1/2)^2 + 175 = 0

(a-50)^2 - 2500 + (b-5)^2 - 25 + (c-0,5)^2 - 0,25 + 175 = 0

(a-50)^2 + (b-5)^2 + (c-0,5)^2 - 2350,25 = 0

(50-a)^2 + (b-5)^2 + (c-0,5)^2 = 2350,25

Оценим, сколько может быть решений.

а, b, c € [0; 9] и при этом они целые.

50 - a <= 50; (50-a)^2 <= 2500

b - 5 <= 5; (b-5)^2 <= 25

c - 0,5 <= 8,5; (c-0,5)^2 <= 72,25

(b-5)^2 + (c-0,5)^2 <= 97,25

a = 0; (50-a)^2 = 50^2 = 2500 > 2350,25 - не подходит.

a = 1; (50-a)^2 = 49^2 = 2401 > 2350,25 - не подходит.

a = 2; (50-a)^2 = 48^2 = 2304; 2350,25 - 2304 = 46,25 < 97,25 - подходит.

a = 3; (50-a)^2 = 47^2 = 2209; 2350,25 - 2209 = 141,25 > 97,25 - не подходит.

Для остальных а выражение (50-а)^2 будет ещё меньше, а остаток больше.

Поэтому они тоже не подходят.

Итак, однозначно a = 2.

Найдем, какие значения могут принимать b и c.

(b-5)^2 + (c-0,5)^2 = 46,25

b = 0; (b-5)^2 = 5^2 = 25; (c-0,5)^2 = 46,25 - 25 = 21,25 - не подходит.

b = 1 или 9; (b-5)^2 = 4^2 = 16; (c-0,5)^2 = 46,25 -16 = 30,25 = 5,5^2 - подходит.

Решение 1: a = 2; b = 1; c = 6; Число: 216.

Решение 2: a = 2; b = 9; c = 6; Число: 296.

b = 2 или 8; (b-5)^2 = 3^2 = 9; (c-0,5)^2 = 46,25 - 9 = 57,25 - не подходит.

b = 3 или 7; (b-5)^2 = 2^2 = 4; (c-0,5)^2 = 46,25 - 4 = 42,25 = 6,5^2 - подходит.

Решение 3: a = 2; b = 3; c = 7; Число: 237.

Решение 4: a = 2; b = 7; c = 7; Число: 277.

b = 4 или 6; (b-5)^2 = 1^2 = 1; (c-0,5)^2 = 46,25 - 1 = 45,25 - не подходит.

b = 5; (b-5)^2 = 0; (c-0,5)^2 = 46,25 - не подходит.

Все варианты, которые не подходят - у них (с-0,5)^2 - не точный квадрат.

Итак, всего 4 решения: 216; 296; 237; 277.

Их сумма: 216+296+237+277 = 1026.

Ответ: 1026.

Answer 2

Давайте рассмотрим все трехзначные числа M и найдем такие, для которых M больше суммы квадратов его цифр на 175.

Пусть трехзначное число M записывается в виде ABC, где A, B и C - цифры числа M. Тогда сумма квадратов его цифр равна A^2 + B^2 + C^2.

Условие задачи можно записать следующим образом: M = A^2 + B^2 + C^2 + 175

Поскольку M - трехзначное число, то A, B и C могут принимать значения от 1 до 9.

Теперь мы можем перебирать все возможные значения A, B и C от 1 до 9 и проверять каждое число M на соответствие условию задачи. Если M удовлетворяет условию, то мы добавляем его в сумму. Вот код на Python для нахождения таких чисел:

pythonCopy code
total_sum = 0

for A in range(1, 10):
    for B in range(1, 10):
        for C in range(1, 10):
            M = A**2 + B**2 + C**2 + 175
            if M >= 100 and M <= 999:  # Проверяем, что M - трехзначное число
                total_sum += M

print("Сумма всех таких трехзначных чисел M:", total_sum)

Вычислив этот код, мы найдем сумму всех трехзначных чисел M, которые удовлетворяют условию задачи.