Question

Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные трехзначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму всех этих чисел.​

Answer 1

Ответ: 279720

Пошаговое объяснение:

Найдем количество таких трехзначных чисел, содержащих некоторую цифру 1<=a<=9 в сотнях, десятках или единицах.

Поскольку число a уже заняло свое место, то остается 8 цифр.

Таким образом, общее количество трехзначных чисел, содержащих цифру a в cотнях, десятках или единицах равно 7*8 = 56, ибо еcли на одно из двух незанятых мест в трехзначном числе встанет вторая определенная цифра, то на оставшемся месте может быть 7 цифр.

Таким образом, если сложить все трехзначные числа, содержащие в своей записи неповторяющиеся цифры от 1 до 9, разбив каждое трехзначное число на десятичные составляющие ( к примеру: 578 = 500+70+8), то сумма всех таких составляющих, cодержащих цифру а, равно: 56*a*(100 + 10 + 1) = 111*56*a.

Cумма всех таких трехзначных чисел равно сумме всех таких составляющих со всеми цифрами от 1 до 9, иначе говоря, искомая сумма будет равна:

56*(1+2+3+4+5+...+9)*111 = 56*45*111 = 279720

Answer 2

Давайте рассмотрим, как можно составить трехзначные числа из цифр от 1 до 9 без повторений.

Первая цифра может быть любой из 9 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Вторая цифра может быть любой из 8 оставшихся цифр (исключив ту, которую мы выбрали на первом месте).

Третья цифра может быть любой из 7 оставшихся цифр (исключив две уже выбранные).

Таким образом, общее количество трехзначных чисел без повторений равно \(9 \times 8 \times 7 = 504\).

Теперь давайте найдем сумму всех этих чисел. Для этого найдем среднее арифметическое всех цифр и умножим его на количество чисел.

Среднее арифметическое цифр от 1 до 9 равно \(\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9} = \frac{45}{9} = 5\).

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел без повторений равна \(504 \times 5 = 2520\).

Так что сумма всех таких чисел равна 2520.