Question

В трапеции ABCD (BC ∥ AD) BC = 9 см, AD = 16 см, BD = 18 см. Точка O - точка пересечения AC и BD. Найдите OB. Можно с подробным решением плизспасибо заранее ​

Answer 1

Ответ:

ОВ = 6,48 см

Объяснение:

Треугольники А0D и В0С - подобные

угол В0С = углу А0D (как вертикальные)

угол СВ0 = углу АD0 (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВD).

Площадь треугольника ВОС равна S1 = 0,5ВС·Н1

Площадь тр-ка АОD равна S2 = 0,5АD·Н2

При этом Н1:Н2 = к -коэфиициент подобия, а

S1 : S2 = к²

S1 : S2 = 0,5ВС·Н1 : 0,5АD·Н2

к² = к· ВС: АD

к = 9/16

Итак, нашли коэффициент подобия.

Из подобия тех же треугольников следует, что ОВ:ОD = 9/16, но ОD = АС - ОВ

ОВ: (АС - ОВ) = 9/16

16·ОВ = 9·(АС - ОВ)

16·ОВ = 9·АС - 9·ОВ

25·ОВ = 9·АС

ОВ = 9·АС/25 = 9·18:25 = 6,48 (cм)— искомая сторона

Ответ: ОВ = 6,48 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами трапеции.

В трапеции ABCD (где BC параллельно AD), длина боковых сторон BC и AD известны: BC = 9 см, AD = 16 см, а также длина BD - одной из диагоналей - равна 18 см. Мы хотим найти длину отрезка OB, где O - точка пересечения AC и BD.

1. Разберемся с треугольником ABD. По теореме Пифагора, мы можем выразить длину отрезка AB через BD и AD:

\(AB^2 = BD^2 - AD^2\)

Подставим известные значения:

\(AB^2 = 18^2 - 16^2\)

\(AB^2 = 324 - 256\)

\(AB^2 = 68\)

\(AB = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\) (это значение будет полезным нам в дальнейшем).

2. Теперь рассмотрим треугольник BCO. Мы знаем, что BC параллельно AD, поэтому угол BOD также прямой. Также мы видим, что BD - диагональ трапеции, делит ее на два прямоугольных треугольника: ABD и BCO.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику BCO:

\(BO^2 = BC^2 + CO^2\)

Подставим известные значения:

\(BO^2 = 9^2 + CO^2\)

3. Теперь вернемся к треугольнику ACO. Он также прямоугольный, и мы можем выразить CO через AC и AO:

\(CO^2 = AC^2 - AO^2\)

Подставим известные значения:

\(CO^2 = (AB + BC)^2 - AO^2\)

\(CO^2 = (2\sqrt{17} + 9)^2 - AO^2\)

\(CO^2 = 4 \cdot 17 + 36\sqrt{17} + 81 - AO^2\)

\(CO^2 = 68 + 36\sqrt{17} + 81 - AO^2\)

Теперь мы видим, что \(CO^2\) у нас в формуле и в уравнении для \(BO^2\), поэтому мы можем подставить это значение:

\(BO^2 = 9^2 + 68 + 36\sqrt{17} + 81 - AO^2\)

\(BO^2 = 158 + 36\sqrt{17} - AO^2\)

4. Теперь обратим внимание на треугольник AOB. Этот треугольник также прямоугольный, и мы можем выразить AO через AB и BO:

\(AO^2 = AB^2 - BO^2\)

Подставим известные значения:

\(AO^2 = 68 - (158 + 36\sqrt{17} - AO^2)\)

\(AO^2 = 68 - 158 - 36\sqrt{17} + AO^2\)

Теперь решим уравнение относительно AO:

\(2AO^2 = 90 - 36\sqrt{17}\)

\(AO^2 = 45 - 18\sqrt{17}\)

5. Теперь мы можем вернуться к уравнению для \(CO^2\), чтобы найти CO:

\(CO^2 = 68 + 36\sqrt{17} + 81 - (45 - 18\sqrt{17})\)

\(CO^2 = 68 + 36\sqrt{17} + 81 - 45 + 18\sqrt{17}\)

\(CO^2 = 104 + 54\sqrt{17}\)

Теперь у нас есть длины CO и BO, и мы можем найти OB:

\(BO^2 = BC^2 + CO^2\)

\(BO^2 = 81 + 104 + 54\sqrt{17}\)

\(BO^2 = 185 + 54\sqrt{17}\)

\(OB = \sqrt{185 + 54\sqrt{17}}\)

Это и есть ответ. Мы нашли длину отрезка OB в трапеции ABCD.