Question

100 балів. Відомо, що tg a = -1 i а є (pi/2; pi) Знайдіть кут а.

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Задача полягає в знаходженні кута \(a\), який визначений як аргумент комплексного числа \(tg a = -1 + i\), тобто \(tg a\) є комплексним числом з вказаними реальною і уявною частинами.

Ми знаємо, що \(tg a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\), але у нас вже задано значення \(tg a\). Таким чином, ми можемо скористатися тригонометричним тотожністю \(tg a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) і представити дане значення в такому вигляді.

Отже, ми маємо:

\[ -1 + i = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} \]

Тепер розглянемо комплексне число \(-1 + i\). Його модуль можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

\[ | -1 + i | = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Знайдемо тепер модулі синуса та косинуса кута \(a\):

\[ |\sin a| = \sqrt{\sin^2 a} \] \[ |\cos a| = \sqrt{\cos^2 a} \]

Оскільки \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), то \(|\sin a| = \sqrt{1 - \cos^2 a}\), і ми можемо використати це для обчислення модуля синуса. Таким чином:

\[ \sqrt{2} = \frac{{|\sin a|}}{{|\cos a|}} \]

Тепер, щоб знайти кут \(a\), давайте подивимося на частини комплексного числа \(-1 + i\). Ми бачимо, що реальна частина дорівнює -1, а уявна частина дорівнює 1.

Ми знаємо, що \(\sin a = 1\) і \(\cos a = -1\), оскільки ми в квадранті II, де синус дорівнює 1, а косинус дорівнює -1.

Отже, ми маємо:

\[ \sin a = 1 \] \[ \cos a = -1 \]

Таким чином, кут \(a\) знаходиться в інтервалі \((\frac{\pi}{2}, \pi)\).

Це лише одне можливе значення для кута \(a\). Однак важливо врахувати, що тригонометричні функції є періодичними, тому існує безліч значень кута \(a\), які задовольняють заданому значенню \(tg a\).