Question

СРОЧНО ДАЮ 40 БАЛОВ!!!!!! 1 . Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його кут дорівнює 1) 34° 2) 77° 3)48° 2. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо: 1) Один із них у 4 рази більше за інший 2) Один із них на 16° менший за другий 3) Їх градусні міри відносяться як 5 : 4 3. Знайдіть більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 68°​

Answer 1

Ответ:

1.Оскільки в прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 90 градусам, то сума двох інших кутів дорівнює 90 градусам. Якщо один з цих кутів дорівнює 30 градусам, то інший кут дорівнює:

90° - 30° = 60°

Отже, гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 60 градусам.

2.

1)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів у 4 рази більше за інший. Можна записати систему рівнянь:

x = 4y, (1)

x + y = 90. (2)

Підставляючи (1) в (2), отримуємо:

4y + y = 90,

5y = 90,

y = 18.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 18 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 4 * 18 = 72 градуси. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 72° та 18°

2)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів на 16 градусів менший за інший. Можна записати систему рівнянь:

x = y - 16, (1)

x + y = 90. (2)

Підставляючи (1) в (2), отримуємо:

y - 16 + y = 90,

2y = 106,

y = 53.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 53 градуси. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 53 - 16 = 37 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 37° та 53°

3)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, градусні міри цих кутів відносяться як 5 до 4. Можна записати систему рівнянь:

x/y = 5/4, (1)

x + y = 90. (2)

З (1) можна виразити один з кутів через інший:

x = 5y/4.

Підставляючи це вираз у (2), отримуємо:

5y/4 + y = 90,

9y/4 = 90,

y = 40.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 40 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 5/4 * 40 = 50 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 50° та 40°.

3.У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута є медіаною та бисектрисою для гіпотенузи, тому вона ділить прямий кут на два рівні кути. Отже, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, дорівнює 45°.

Аби це показати, позначимо більший з гострих кутів трикутника як А, а другий гострий кут як В. Оскільки трикутник прямокутний, то А+В=90°. За теоремою про бісектрису, діляч прямий кут трикутника на два рівні кути, бісектриса СВ ділить сторону АС відповідного трикутника на відрізки АС та ВС, що становлять пропорцію:

AC/BC = AB/BV,

або, підставляючи відомі довжини сторін:

a/c = c/(b - c),

де а та b - катети прямокутного трикутника, а c - гіпотенуза.

Звідси отримуємо:

a(b-c) = c^2,

або

a/b = c/(a+c).

Оскільки АС - бісектриса, то АС ділить кут АСВ навпіл, тому кути САВ та СВА є рівними. Отже, кут ВСА дорівнює 68/2 = 34 градусам, і за теоремою синусів, маємо:

sin(45)/c = sin(34)/a,

або

a/c = sin(34)/sin(45).

Підставляючи вираз для a/b з попереднього кроку, отримуємо:

sin(45)/sin(34) = (a+c)/c,

або

a/c = sin(34)/sin(45 + 34) = sin(34)/sin(79).

Звідси можна знайти, що А=90 - 2АСВ = 90 - 2arctg(a/c) = 90 - 2arctg(sin(34)/sin(79)) ≈ 54.4°. Таким чином, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника

Answer 2

Finding the acute angle of a right triangle

To find the acute angle of a right triangle, we can use the fact that the sum of the angles in any triangle is always 180 degrees. In a right triangle, one of the angles is always 90 degrees, so the sum of the other two angles must be 90 degrees.

Let's consider the given options: 1) 34° 2) 77° 3) 48°

To find the acute angle, we subtract the given angle from 90 degrees. Let's calculate the acute angles for each option:

1) For an angle of 34°, the acute angle would be 90° - 34° = 56°. 2) For an angle of 77°, the acute angle would be 90° - 77° = 13°. 3) For an angle of 48°, the acute angle would be 90° - 48° = 42°.

Therefore, the acute angles for the given options are: 1) 56° 2) 13° 3) 42°.

Please note that these calculations are based on the assumption that the given angles are the acute angles of the right triangle.

Finding the acute angles of a right triangle with given conditions

To find the acute angles of a right triangle with given conditions, we can use algebraic equations based on the relationships between the angles.

Let's consider the given conditions: 1) One angle is 4 times larger than the other. 2) One angle is 16° smaller than the other. 3) The degree measures of the angles are in a ratio of 5:4.

Let's denote the smaller angle as x. Based on the given conditions, we can set up the following equations:

1) One angle is 4 times larger than the other: x = 4x

2) One angle is 16° smaller than the other: x - 16 = 4x

3) The degree measures of the angles are in a ratio of 5:4: x / (4x) = 5 / 4

Solving these equations will give us the values of the acute angles.

Finding the larger of the angles formed by the bisector of a right triangle

To find the larger of the angles formed by the bisector of a right triangle with the hypotenuse, we need to consider the properties of a bisector.

In a right triangle, the bisector of the right angle divides the opposite side (the hypotenuse) into two segments that are proportional to the other two sides of the triangle.

Let's denote the larger angle formed by the bisector as x. Based on the given information, we know that one of the acute angles of the triangle is 68°.

Using the properties of a bisector, we can set up the following equation:

x / 68° = hypotenuse segment / adjacent segment

Since the hypotenuse segment is the same as the adjacent segment in a right triangle, we can simplify the equation to:

x / 68° = 1

Therefore, the larger angle formed by the bisector of the right triangle is 68°.

Please note that these calculations are based on the assumption that the given angle is one of the acute angles of the right triangle.