Question

Якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12см, а один із гострих кутів — 30°, то катет, прилеглий до цього кута, дорівнює... 2°. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює 18см, а протилежний йому кут —45°, то гіпотенуза трикутника дорівнює... .3°. За відомим катетом КМ =12см і протилежним кутом 30° прямокутного трикутника MNK : визначте катет MN. 4°. Якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 24 см, а один із гострих кутів дорівнює 60°, то катет, протилежний цьому куту дорівнює... 5°. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 24 см, а один з катетів — 12см. Знайдіть другий катет і гострі кути трикутника. 6*. Один із кутів ромба дорівнює 120°, а діагональ, проведена з вершини другого кута, дорівнює 16 см. Знайдіть периметр ромба. 7*. У рівносторонньому трикутнику висота дорівнює 10 см. Знайдіть сторони трикутника. 8*. Один із кутів ромба дорівнює 60°, а сторона — 4 см. Знайдіть діагоналі ромб

Answer 1

Відповідь:

1) 6$\sqrt{3}$ см4 2) 18$\sqrt{2}$ см; 3)MN=12$\sqrt{3}$ (см); 4.12√3(см); 5. ∠1=30°, ∠2= 60°, катет= 12√3 см;  6. 64/√3≈37.6 cм; 7. 20/√3≈11,5 см 8. 4 см і 4√3 см.

Пояснення: с- гіпотенуза, а і b- катети

1.Інший кут(протилежний до заданого)катета=180°-(90°+30°)=60°  за теоремою синусів прилеглий катет а =12*sin 60°=12*√3/2=6 √3(см)

2. коли кут = 45°, то інший кут теж рівен 45°- трикутник рівнобедрений,

с²=2а².$c=\sqrt{2*18^2}=18\sqrt{2}$(см)

3. за теоремою синусів : $\frac{KM}{sin 30}=\frac{MN}{sin 60}; \\ 12*\frac{\sqrt{3} }{2}=MN*\frac{1}{2}$     /*2

MN=12$\sqrt{3}$ (см)

4. як у першій задачі катет=24*sin 60°=24*√3/2=12√3(см)

5. якщо у прямокутному Δ, катет= 1/2 гіпотенузи, то це катет, що лежить проти кута в 30°.

відповідь: ∠1=30°, ∠2= 60°, катет= 12√3 см.

6. За властивостями ромба : його діагоналі є бісектрисами кутів, у точці перетину ділять себе навпіл, та є перпендикулярні одна до другої. Так як один з кутів 120°, то поділений діагоналю навпіл= 120°:2=60°., трикутник утворений цією діагоналлю буде рівностороннім, так як протилежні кути в ромбу рівні, а сума усіх кутів Δ=60°. Друга напівдіогональбуде висотою цього трикутника( бо діагоналі утворюють між собою  прямий кут) Знайдемо сторону ромбу , с²=8²+(с/2)²

4с²-с²=64*4; 3с²=256.$c= \sqrt{256/3} =\frac{16}{\sqrt{3} }$

P=4*16/√3=64/√3≈37.6 cм

7.  за теоремою Піфагору знайдемо сторону в утвореному висотою прямокутному трикутнику с²=10²+ (с/2)²;3с²=400. с= √( 400/3)=20/√3≈11,5 см

8.  Діагоналі ромба ділять його на 4-ри прямокутних трикутники, які попарно рівні. Так як діагоналі ромба є його бісектрисами,то утворені трикутники мають кути 30°,60°,90°. тоді менша гіпотинуза = 2*2= 4см, а більша 2√3*2=4√3 см

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання окремо:

1. Якщо один із гострих кутів трикутника дорівнює 30°, то кут протилежний цьому куту дорівнює 90° - 30° = 60°. За теоремою синусів ми можемо знайти катет трикутника:

   sin(30°) = протилежний катет / гіпотенуза, протилежний катет = гіпотенуза * sin(30°) = 12 см * 0.5 = 6 см.

2. За теоремою синусів:

   sin(45°) = протилежний катет / гіпотенуза, гіпотенуза = протилежний катет / sin(45°) = 18 см / 0.7071 ≈ 25.46 см.

3. Знову за теоремою синусів:

   sin(30°) = протилежний катет / 12 см, протилежний катет = 12 см * sin(30°) = 6 см.

4. За теоремою синусів:

   sin(60°) = протилежний катет / 24 см, протилежний катет = 24 см * sin(60°) ≈ 20.78 см.

5. За теоремою Піфагора:

   другий катет = √(гіпотенуза^2 - перший катет^2) = √(24^2 - 12^2) = √(576 - 144) = √432 ≈ 20.78 см.

   Гострі кути трикутника будуть:

   перший кут = arcsin(12 / 24) ≈ 30°, другий кут = 90° - перший кут ≈ 60°.

6. Для знаходження периметра ромба потрібно знати довжину сторони. Умова не надає додаткової інформації про ромб, тому неможливо визначити периметр.

7. В рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні між собою, і всі кути дорівнюють 60°. Отже, сторони трикутника будуть рівні 10 см, 10 см і 10 см.

8. За теоремою синусів:

   sin(60°) = (діагональ / 2) / 4 см, діагональ = 2 * 4 см * sin(60°) = 8 см.

   Діагоналі ромба будуть рівні 8 см та 8 см (так як ромб має рівні діагоналі).

Будь ласка, зауважте, що у деяких відповідях мої обчислення можуть бути наближеними, тому може виникнути невелика розбіжність у значеннях.