Question

Окружность с центром О вписана в прямоугольник ABCD Найдите ∠OAB +∠OBC +∠OCD +∠ODA

Answer 1

Ответ: 180°

Решение:  Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны

Окружность можно вписать только в один прямоугольник: КВАДРАТ!
Дано: ABCD- прямоугольник, О- центр вписанной окружности
Найти: ∠OAB +∠OBC +∠OCD +∠ODA
Решение: АВСD- квадрат согласно свойству вписанной окружности( сумма противоположных сторон- равны)

ОА и ОС ∈  одной прямой- АС-диагонали квадрата, ОВ и ОВ  ∈  одной прямой ВD-диагонали квадрата.
По свойству диагоналей квадрата (делят углы квадрата пополам )
∠АОВ=1/2∠А=1/2*90°=45°
∠OBC=1/2∠В=45°

∠OCD=1/2∠С =45°

∠ODA=1/2D=45°
∠OAB +∠OBC +∠OCD +∠ODA=4*45°=180°

Answer 2

Чтобы найти углы \(\angle OAB\), \(\angle OBC\), \(\angle OCD\) и \(\angle ODA\), давайте рассмотрим свойства окружности, вписанной в прямоугольник.

Предположим, что \(O\) - центр окружности, вписанной в прямоугольник \(ABCD\). Также предположим, что точки касания окружности с сторонами прямоугольника обозначены как \(E, F, G\) и \(H\), где \(E\) находится на \(AB\), \(F\) на \(BC\), \(G\) на \(CD\) и \(H\) на \(DA\).

Теперь рассмотрим следующие утверждения:

1. Сегменты, образованные касательными, проведенными из точек касания к центру окружности, равны между собой. \[EA = EF = FB = GB = GC = GD = DH = HA\]

2. Противоположные углы прямоугольника равны. \[\angle A = \angle C = \angle B = \angle D = 90^\circ\]

Теперь давайте рассмотрим углы:

1. \(\angle OAB\): Этот угол является половиной центрального угла \(EOB\). Таким образом, \[\angle OAB = \frac{1}{2} \angle EOB\]

2. \(\angle OBC\): Этот угол является половиной центрального угла \(FOC\). Таким образом, \[\angle OBC = \frac{1}{2} \angle FOC\]

3. \(\angle OCD\): Этот угол является половиной центрального угла \(GOD\). Таким образом, \[\angle OCD = \frac{1}{2} \angle GOD\]

4. \(\angle ODA\): Этот угол является половиной центрального угла \(HOA\). Таким образом, \[\angle ODA = \frac{1}{2} \angle HOA\]

Углы центральные углы можно выразить через дуги окружности:

1. \(\angle EOB = 2\angle EAB\) (дуга \(EB\) в два раза больше дуги \(AB\)). 2. \(\angle FOC = 2\angle FBC\) (дуга \(FB\) в два раза больше дуги \(BC\)). 3. \(\angle GOD = 2\angle GCD\) (дуга \(GC\) в два раза больше дуги \(CD\)). 4. \(\angle HOA = 2\angle HDA\) (дуга \(DH\) в два раза больше дуги \(DA\)).

Таким образом, углы можно выразить следующим образом:

1. \(\angle OAB = \frac{1}{2} \cdot 2\angle EAB = \angle EAB\) 2. \(\angle OBC = \frac{1}{2} \cdot 2\angle FBC = \angle FBC\) 3. \(\angle OCD = \frac{1}{2} \cdot 2\angle GCD = \angle GCD\) 4. \(\angle ODA = \frac{1}{2} \cdot 2\angle HDA = \angle HDA\)

Таким образом, углы \(\angle OAB\), \(\angle OBC\), \(\angle OCD\) и \(\angle ODA\) равны дугам, образованным соответственно сторонами прямоугольника, касающимися окружности.