Question

Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії (an) , якщо a4 + a8 = 35 і a3+ a21 = 65​

Answer 1

Позначимо перший член арифметичної прогресії як а, а різницю як d. Тоді маємо систему рівнянь:

a + 3d + a + 19d = 65

4a + 12d + 8a + 8d = 35

Спростивши, отримуємо:

5a + 22d = 65

12a + 20d = 35

Розв'язавши цю систему рівнянь, знаходимо:

a = -11

d = 3

Отже, перший член арифметичної прогресії дорівнює -11, а різниця - 3.


---------------------------------------------------

Если помог, отметь ответ как лучший пожалуйста :)

Answer 2

Звичайно, я допоможу знайти перший член і різницю арифметичної прогресії за відомими значеннями.

Дано:

1. a₄ + a₈ = 35 2. a₃ + a₂₁ = 65

Ми знаємо, що в арифметичній прогресії загальний член задається формулою: \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\), де \(a_n\) - n-тий член, \(a_1\) - перший член, \(n\) - номер члена, \(d\) - різниця прогресії.

Маємо дві рівності:

1. \(a_4 + a_8 = 35\) 2. \(a_3 + a_{21} = 65\)

Знаходимо \(a_4\) і \(a_8\) через загальну формулу:

1. \(a_4 = a_1 + (4 - 1) \cdot d = a_1 + 3d\) 2. \(a_8 = a_1 + (8 - 1) \cdot d = a_1 + 7d\)

Знаємо, що \(a_4 + a_8 = 35\), отже:

\(a_1 + 3d + a_1 + 7d = 35\) \(2a_1 + 10d = 35\) \(a_1 + 5d = 17.5\) (ділимо обидві частини на 2)

Аналогічно знаходимо \(a_3\) і \(a_{21}\):

1. \(a_3 = a_1 + 2d\) 2. \(a_{21} = a_1 + 20d\)

Знаємо, що \(a_3 + a_{21} = 65\), отже:

\(a_1 + 2d + a_1 + 20d = 65\) \(2a_1 + 22d = 65\) \(a_1 + 11d = 32.5\) (ділимо обидві частини на 2)

Отримали систему рівнянь:

1. \(a_1 + 5d = 17.5\) 2. \(a_1 + 11d = 32.5\)

Віднімаємо перше рівняння від другого:

\((a_1 + 11d) - (a_1 + 5d) = 32.5 - 17.5\) \(6d = 15\) \(d = 15 / 6\) \(d = 2.5\)

Тепер підставимо значення \(d\) у будь-яке з рівнянь для знаходження \(a_1\):

\(a_1 + 5 \cdot 2.5 = 17.5\) \(a_1 + 12.5 = 17.5\) \(a_1 = 17.5 - 12.5\) \(a_1 = 5\)

Отже, отримали значення першого члена \(a_1 = 5\) та різницю \(d = 2.5\).