Question

4. Дано коло з центром в точці О. З точки А, яка лежить поза колом, проведено дві дотичні АВ Та АС до кола. Вiдомо також, що ОВ = 10 см, кут ВАС = 60º Знайдіть АК, якщо к-точка перетину відрізків ВС і АО. 5. Доведіть, що геометричне місце точок рівновiддалених від сторiн кута, є бісектриса цього кута.​

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання цієї задачі використаємо теорему про те, що кут між дотичною і радіусом кола, проведеним до точки дотику, є прямим кутом.

Позначимо точку перетину відрізків ВС і АО як К.

Оскільки ОВ = 10 см і кут ВАС = 60º, тоді ОА = ОС = 10 см (Оскільки ОВ - радіус кола).

Оскільки ОА = ОС, то кути ОАК і ОСК також дорівнюють 60º кожен (кути при основі рівнобедреного трикутника).

Отже, трикутник ОАК є рівностороннім.

Також, відповідно до теореми, кути ВАК і САК є прямими кутами.

Тепер розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута ВАС.

Припустимо, що X - точка на геометричному місці. Тоді відстань від X до сторони ВА дорівнює відстані від X до сторони СА.

Оскільки ОАК є рівностороннім трикутником, то ОX = AX.

Також, відстань від X до сторони ВС дорівнює відстані від X до сторони СК.

Оскільки ВС - дотична, то кут ВКС є прямим кутом. Тому відрізок ВК є висотою трикутника ВКС, що проходить через вершину К.

Отже, відрізок ВК є середньою лінією в рівнобедреному трикутнику ВКС і ділить сторону СК навпіл.

З цього випливає, що ОК = КС.

Таким чином, ми довели, що для кожної точки X, розташованої на геометричному місці точок, рівновіддалених від сторін кута ВАС, відрізок ОК є середньою лінією в рівнобедреному трикутнику ОКС і ділить сторону СК навпіл.

Таким чином, геометричне місце точок рівновіддалених від сторін кута ВАС є бісектрисою цього кута.

Answer 2

Відповідь:

До кола з центром у точці О з точки А поза колом проведено дві дотичні AB i AC (точки В і С - точки дотику).Вiдрiзок АО вдвічі більший за радіус кола.

Знайдіть кут ВАС.

Дотичною до кола називається пряма, що має з колом одну спільну точку.

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.

ВО⟂АВ, СО⟂АС.

=> △АВО і △АСО - прямокутні.

В прямокутному трикутнику катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить навпроти кута кута 30°.

=> ∠САО=30°.

△АВО=△АСО за гіпотенузою і катетом (АО - спільна, ВО=СО як радіуси).

=> ∠ВАС=∠САО, то ∠ВАС=∠ВАС+∠САО=30°+30°=60°.

=> ∠ВАС=60° => геометричне місце точок рівновiддалених від сторiн кута, є бісектриса цього кута

Пояснення:

Answer 3

Задача 4:

Позначимо: - \( A \) - точка, через яку проведено дотичні до кола. - \( B \) і \( C \) - точки дотику дотичних до кола з точки \( A \). - \( O \) - центр кола. - \( V \) - середина відрізка \( BC \). - \( OV = 10 \) см. - \( \angle BAS = \angle BAC \) - кут між дотичною \( AB \) і відрізком \( AO \). - \( \angle BAC = 60^\circ \).

Маємо рівність кутів \( \angle BAC \) і \( \angle BAS \), оскільки вони дотичні до кола: \[ \angle BAC = \angle BAS \]

Також, оскільки \( V \) - середина відрізка \( BC \), то \( \angle BVO = \angle CVO = 90^\circ \).

Відрізок \( BO \) є радіусом кола, а тому \( \angle BAO \) - прямий кут: \[ \angle BAO = 90^\circ \]

Отже, \[ \angle BAS = \angle BAO - \angle AOS = 90^\circ - \angle AOS \]

Також, оскільки \( \angle BAC = 60^\circ \), то \[ \angle AOS = 60^\circ - \angle BAS \]

Оскільки трикутник \( AOS \) - прямокутний, можемо використовувати тригонометричні функції.

Враховуючи, що \( OV = 10 \) см, ми можемо записати: \[ \tan \angle AOS = \frac{AS}{AO} \] \[ \tan (60^\circ - \angle BAS) = \frac{AS}{AO} \] \[ \tan 60^\circ - \tan \angle BAS = \frac{AS}{AO} \] \[ \sqrt{3} - \tan \angle BAS = \frac{AS}{AO} \] \[ \tan \angle BAS = \sqrt{3} - \frac{AS}{AO} \]

Також, ми можемо використати властивості трикутника \( AOS \) для визначення \( AS \): \[ \sin \angle AOS = \frac{AS}{AO} \] \[ \sin (60^\circ - \angle BAS) = \frac{AS}{AO} \] \[ \sqrt{3} \cdot \cos \angle BAS - \frac{AS}{AO} = \frac{AS}{AO} \] \[ \sqrt{3} \cdot \cos \angle BAS = \frac{2 \cdot AS}{AO} \] \[ \cos \angle BAS = \frac{2 \cdot AS}{\sqrt{3} \cdot AO} \]

Тепер можемо записати вираз для \( \tan \angle BAS \) через \( \cos \angle BAS \): \[ \tan \angle BAS = \sqrt{3} - \frac{AS}{AO} = \sqrt{3} - \frac{2 \cdot AS}{\sqrt{3} \cdot AO} \]

Також враховуємо, що \( \tan \angle BAS = \frac{BC}{BA} \): \[ \frac{BC}{BA} = \sqrt{3} - \frac{2 \cdot AS}{\sqrt{3} \cdot AO} \]

Знаючи, що \( BC = 2 \cdot AS \) і \( AO = 2 \cdot AV \), можемо записати: \[ \frac{2 \cdot AS}{BA} = \sqrt{3} - \frac{AS}{AV} \] \[ \frac{2}{BA} = \sqrt{3} - \frac{1}{AV} \] \[ \frac{1}{AV} = \sqrt{3} - \frac{2}{BA} \] \[ AV = \frac{1}{\sqrt{3} - \frac{2}{BA}} \]

Тепер враховуємо, що \( AV = \frac{AO}{2} \): \[ \frac{AO}{2} = \frac{1}{\sqrt{3} - \frac{2}{BA}} \] \[ AO = \frac{2}{\sqrt{3} - \frac{2}{BA}} \]

Також, ми знаємо, що \( OV = 10 \) см: \[ AO = OV + VA \] \[ \frac{2}{\sqrt{3} - \frac{2}{BA}} = 10 + \frac{1}{\sqrt{3} - \frac{2}{BA}} \]

Множимо обидві сторони на \( (\sqrt{3} - \frac{2}{BA}) \) для усунення знаменників в знаменниках: \[ 2 = 10 \cdot (\sqrt{3} - \frac{2}{BA}) + 1 \] \[ 2 = 10 \cdot \sqrt{3} - \frac{20}{BA} + 1 \]

Прибираємо \(1\) з обох сторін: \[ 1 = 10 \cdot \sqrt{3} - \frac{20}{BA} \]

Далі розв'язуємо рівняння відносно \( BA \): \[ \frac{20}{BA} = 10 \cdot \sqrt{3} - 1 \] \[ BA = \frac{20}{10 \cdot \sqrt{3} - 1} \]

Отже, довжина відрізка \( BA \) дорівнює \( \frac{20}{10 \cdot \sqrt{3} - 1} \) см.

---

Задача 5:

Нехай \( P \) - точка на геометричному місці точок, рівновіддалених від сторін \( AB \) і \( AC \) кута \( BAC \).

Розглянемо відрізки \( PA \), \( PB \) і \( PC \). Оск