Question

Даны векторы a(2;-2;1) и b(8;4;1). 1)Найдите вектор c,если 2c+3a-5b=0. 2)Найдите (3а-b)^2. 3) Найдите площадь параллелограмма,построенного на векторах a и 2b.

Answer 1

Ответ:

36√2

Объяснение:

2c=5b-3a=(8*5;4*5;1*5)-(2*3;-2*3;1*3)=(40-6;20+6;5-3)=(34;26;2)

c=(17;13;1)

(3a-b)^2=9a^2+b^2-6ab=9*(4+4+1)+(64+16+1)-2*(16-8+1)=

=9*9+81-18=144

a(2;-2;1)

2b(16;8;2)

$\left[\begin{array}{ccc}-2&1\\8&2\end{array}\right] ; -\left[\begin{array}{ccc}2&1\\16&2\end{array}\right] ; \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\16&8\end{array}\right] =-4-8;-(4-16);16+32=\\={-12;12;48}$

S=|{-12;12;48}|=√(144+144+144*16)=12√18=36√2

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи.

1) Найдем вектор c, если 2c + 3a - 5b = 0.

У нас есть уравнение:

\[2c + 3a - 5b = 0.\]

Чтобы найти вектор c, давайте выразим его из этого уравнения:

\[2c = 5b - 3a.\]

Теперь разделим обе стороны на 2:

\[c = \frac{5}{2}b - \frac{3}{2}a.\]

Таким образом, вектор c равен \(\frac{5}{2}b - \frac{3}{2}a\).

2) Найдем \((3a - b)^2\).

\[(3a - b)^2 = (3a - b)(3a - b).\]

Раскроем скобки:

\[9a^2 - 3ab - 3ab + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2.\]

Таким образом, \((3a - b)^2 = 9a^2 - 6ab + b^2\).

3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах a и 2b.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение длин векторов a и 2b на синус угла между ними.

Площадь S равна \(S = \|a\| \cdot \|2b\| \cdot \sin(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами.

Длина вектора a: \(\|a\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

Длина вектора 2b: \(\|2b\| = 2 \cdot \sqrt{8^2 + 4^2 + 1^2} = 2 \cdot \sqrt{64 + 16 + 1} = 2 \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18\).

Теперь найдем синус угла между векторами a и 2b:

\[\sin(\theta) = \frac{a \times 2b}{\|a\| \cdot \|2b\|},\]

где \(a \times 2b\) - векторное произведение.

\[a \times 2b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -2 & 1 \\ 16 & 8 & 2 \end{vmatrix} = i(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 8) - j(2 \cdot 16 - 1 \cdot 2) + k(16 \cdot 8 - 1 \cdot 2) = 12i + 30j + 126k.\]

Теперь подставим все значения в формулу для площади:

\[S = 3 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{12^2 + 30^2 + 126^2}}{3 \cdot 18}.\]

\[S = \sqrt{12^2 + 30^2 + 126^2}.\]

\[S = \sqrt{144 + 900 + 15876}.\]

\[S = \sqrt{16920}.\]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \(\sqrt{16920}\).