Question

Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если: - у многоугольника 6 сторон и R= 6 см (если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1). S= ⋅ −−−−−−√ см2; - у многоугольника 18 сторон и R= 6 см (при использовании синусов, косинусов или тангенсов их значения округли до тысячных, ответ округли до целых). S= см2.

Answer 1

Ответ:

1) S= 54√3 см²;

2) S=90sin72=85,60

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади правильного многоугольника в зависимости от его количества сторон (n) и длины радиуса (R), а также формулу для вычисления площади треугольника, вписанного в окружность с радиусом R.

1. Для многоугольника с 6 сторонами: Площадь правильного многоугольника можно выразить как \(S = \frac{1}{4} n R^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\), где \(n\) - количество сторон, \(R\) - радиус описанной окружности, а \(\cot\) - котангенс.

В данном случае, у нас \(n = 6\) и \(R = 6\).

Подставим значения: \[S = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 6^2 \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

Вычислим котангенс \(\frac{\pi}{6}\). Котангенс угла \(\theta\) равен \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\), а \(\tan(\theta) = \sqrt{3}\).

\[\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь можем подставить значение котангенса в формулу для площади:

\[S = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 6^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Решив это уравнение, мы получим площадь многоугольника.

2. Для многоугольника с 18 сторонами: В данном случае, у нас \(n = 18\) и \(R = 6\).

По той же формуле:

\[S = \frac{1}{4} \cdot 18 \cdot 6^2 \cot\left(\frac{\pi}{18}\right)\]

Вычислим котангенс \(\frac{\pi}{18}\). Аналогично предыдущему случаю, мы получим:

\[\cot\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{18}\right)}\]

Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{18}\right)\) округлим до тысячных и используем его значение для вычисления котангенса.

После нахождения котангенса, подставим его в формулу для площади:

\[S = \frac{1}{4} \cdot 18 \cdot 6^2 \cdot \text{Котангенс}\]

Решив это уравнение, мы получим площадь многоугольника.