Question

Обчисліть 2tg 30° + ctg 60°

Answer 1

Щоб обчислити значення виразу \(2\tan(30^\circ) + \cot(60^\circ)\), спершу розглянемо значення тангенса та котангенса для кутів \(30^\circ\) та \(60^\circ\).

1. Тангенс \(30^\circ\): \[\tan(30^\circ) = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}\]

Знаємо, що \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) та \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), тому: \[\tan(30^\circ) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

2. Котангенс \(60^\circ\): \[\cot(60^\circ) = \frac{1}{\tan(60^\circ)}\]

Знаємо, що \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), тому: \[\cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Тепер підставимо ці значення відповідно до формули:

\[2\tan(30^\circ) + \cot(60^\circ) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Спростимо вираз:

\[2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3}\]

Знаменник у чисельнику і знаменник у знаменнику скасовуються, тому:

\[ \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]

Отже, значення виразу \(2\tan(30^\circ) + \cot(60^\circ)\) дорівнює \(\sqrt{3}\).