Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А (-1;1), В (3;3), С (2;-2), D (-2;-1). Найдите синус угла между его диагоналями​

Answer 1

$\overrightarrow{AC} = (2 - (-1); -2-1) = (3; -3)$

$\overrightarrow{BD} = (-2-3; -1-3) = (-5; -4)$

Используем скалярное произведение

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = (3; -3)\cdot (-5; -4) = 3\cdot(-5) + (-3)\cdot(-4) = -15 + 12 = -3$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\cdot\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

$\cos(\alpha) = \frac{-3}{3\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{41}} = -\frac{1}{\sqrt{82}}$

косинус искомого угла отрицательный, значит угол тупой. Угол между прямыми всегда берётся острый, то есть

$\cos(\pi - \alpha) = \cos(\pi)\cos(\alpha) + \sin(\pi)\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Итак, косинус искомого угла есть $\frac{1}{\sqrt{82}}$

угол острый, тогда синус острого угла положителен, тогда

$\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{1}{82}} = \frac{9}{\sqrt{82}}$

Answer 2

Для того чтобы найти синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD, нам необходимо знать координаты вершин этого четырехугольника. В данном случае, вершины А, В, С и D заданы следующим образом:

A(-1, 1) B(3, 3) C(2, -2) D(-2, -1)

Для начала, давайте найдем координаты диагоналей. Диагонали четырехугольника ABCD соединяют противоположные вершины. Поэтому, первая диагональ будет соединять вершины A и C, а вторая диагональ - вершины B и D.

Координаты первой диагонали AC можно найти по формуле:

x1 - x2 y1 - y2

где (x1, y1) - координаты вершины A, а (x2, y2) - координаты вершины C.

Таким образом, координаты первой диагонали AC:

x1 - x2 = -1 - 2 = -3 y1 - y2 = 1 - (-2) = 3

Значит, первая диагональ AC имеет координаты (-3, 3).

Аналогично, координаты второй диагонали BD можно найти, используя координаты вершин B и D:

x1 - x2 = 3 - (-2) = 5 y1 - y2 = 3 - (-1) = 4

Таким образом, вторая диагональ BD имеет координаты (5, 4).

Теперь, чтобы найти синус угла между диагоналями, мы можем использовать формулу:

sin(θ) = (AC × BD) / (|AC| × |BD|)

где AC × BD - векторное произведение диагоналей, |AC| - длина первой диагонали, а |BD| - длина второй диагонали.

Давайте вычислим каждую из этих величин.

Длина первой диагонали AC:

|AC| = √((-3)^2 + 3^2) = √(9 + 9) = √18

Длина второй диагонали BD:

|BD| = √(5^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √41

Теперь, найдем векторное произведение диагоналей AC × BD. Для этого, нам понадобится определитель матрицы, составленной из координат диагоналей:

AC × BD = (x1 * y2 - x2 * y1)

= (-3 * 4 - 3 * 5)

= (-12 - 15)

= -27

Теперь можем подставить все значения в формулу для синуса угла:

sin(θ) = (-27) / (√18 * √41)

Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен -27 / (√18 * √41).