Question

В параллелограмме ABCD АВ = 4 см, АD = 5 см, А = 45о. Найдите периметр. Четырёхугольник MNKP задан координатами своих вершин M (5; - 3), N (1; 2), K (4; 4), P (6; 1). Найдите синус угла между его диагоналями.​

Answer 1

Ответ:

Представим диагонали четырёхугольника в виде векторов MK и PN. Обозначим для простоты эти векторы MK=a и PN=b

Координаты векторов: а=(4-5; 4-(-3))=(-1; 7); b=(1-6; 2-1)=(-5; 1)

Векторное произведение векторов a×b=|a|·|b|·sin(a^b) (здесь ^ -обозначение угла). Отсюда

sin(a^b)=(a×b)/(|a|·|b|)

(a×b)=(xayb-xbya)=(-1·1-7·(-5))=34

|a|=√((-1)2+72)=5√2; |b|=√((-5)2+12)=√26

sin(a^b)=34/(5√(2·26))=17/(5√13)

Answer 2

Для решения первой задачи о параллелограмме ABCD, мы можем использовать свойства параллелограмма.

Из условия известно, что сторона AB равна 4 см, сторона AD равна 5 см, и угол A равен 45 градусов.

Сначала найдем сторону BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = AD = 5 см.

Затем найдем сторону CD. Так как параллелограмм ABCD - прямоугольник, то сторона CD равна AB, то есть CD = AB = 4 см.

Теперь можем найти периметр параллелограмма ABCD, складывая длины всех сторон:

Периметр = AB + BC + CD + DA = 4 см + 5 см + 4 см + 5 см = 18 см.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 18 см.

Вторая задача о четырехугольнике MNKP:

Мы можем использовать формулу для вычисления синуса угла между двумя векторами:

sin(θ) = (a × b) / (|a| × |b|),

где a и b - векторы, (a × b) - их скалярное произведение, |a| и |b| - их длины.

Для нахождения векторов MN и KP можно использовать координаты их концов:

Вектор MN = N - M = (1 - 5, 2 - (-3)) = (-4, 5).

Вектор KP = P - K = (6 - 4, 1 - 4) = (2, -3).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов MN и KP:

MN × KP = (-4 × 2) + (5 × -3) = -8 - 15 = -23.

Также вычислим длины векторов MN и KP:

|MN| = √((-4)^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41,

|KP| = √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13.

Теперь мы можем вычислить синус угла между диагоналями:

sin(θ) = (MN × KP) / (|MN| × |KP|) = -23 / (√41 × √13).

Ответ: Синус угла между диагоналями четырехугольника MNKP равен -23 / (√41 × √13).