Question

Помогите, пожалуйста, решить! Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1,1) B(3,3) C(2,-2) D(-2,-1). Найдите синус угла между его диагоналями. С подробным решением и обоснованиями! 9 класс. Темы: Метод координат и Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Answer 1

Ответ:

(AC)-(3;-3)

(BD)=(-5;-4)

IACI=3sqrt(2)

IBDI=sqrt(41)

(AC)(BD)-(-15+12)=-3

cosx=-3/3sqrt(2)"sqrt(41)=-sqrt(82)/82

sinx=sqrt(1-82/82/2)=-9sqrt(82)/82

или так

[(AC)(BD)]=-27

sinx=-27/3sqrt(2)sqrt(41)=-9sqrt(82)/82

Answer 2

Для нахождения синуса угла между диагоналями четырехугольника ABCD, мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов. Сначала найдем векторы, соответствующие диагоналям, а затем вычислим скалярное произведение этих векторов.

Для начала найдем векторы AB и CD, которые являются диагоналями четырехугольника:

1. Вектор AB: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - (-1), 3 - 1) = (4, 2)

2. Вектор CD: CD = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2 - 2, -1 - (-2)) = (-4, 1)

Теперь мы имеем векторы AB и CD. Для вычисления скалярного произведения этих векторов, мы используем следующую формулу:

AB * CD = |AB| * |CD| * sin(угол между ними)

Где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

Длина вектора AB: |AB| = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20

Длина вектора CD: |CD| = √((-4)^2 + 1^2) = √(16 + 1) = √17

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:

AB * CD = |AB| * |CD| * sin(угол между ними)

AB * CD = (√20) * (√17) * sin(угол)

Теперь найдем синус угла между диагоналями:

sin(угол) = (AB * CD) / (√20 * √17)

sin(угол) = (AB * CD) / (√(20 * 17))

sin(угол) = (AB * CD) / √340

sin(угол) = (4 * (-4) + 2 * 1) / √340

sin(угол) = (-16 + 2) / √340

sin(угол) = -14 / √340

Теперь можно упростить этот результат:

sin(угол) = (-14 / √340) * (√340 / √340)

sin(угол) = (-14√340) / 340

sin(угол) = (-14√(17 * 20)) / 340

sin(угол) = (-14√17 * √20) / 340

sin(угол) = (-14 * √17 * √20) / (20 * 17)

sin(угол) = (-14 * √(17 * 20)) / (20 * 17)

sin(угол) = (-14 * √340) / (20 * 17)

sin(угол) = (-14 * √(4 * 85)) / (20 * 17)

sin(угол) = (-14 * 2 * √85) / (20 * 17)

sin(угол) = (-28√85) / 340

sin(угол) = (-7√85) / 85

Итак, синус угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен (-7√85) / 85.