Question

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды ,если площадь ее боковой поверхности равна 54, а апофема 4

Answer 1

Решение:
Sбок=½*3*а*l, где l=4ед апофема; а- сторона основания.
а=2*Sбок/(3*l)=2*54/(3*4)=108/12=
=9ед.

Ответ: сторона основания 9ед.

Answer 2

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде с известной площадью боковой поверхности и апофемой (высотой, проведенной из вершины пирамиды в центр основания) мы можем воспользоваться формулой для площади боковой поверхности пирамиды и соотношением между этой площадью, апофемой и периметром основания.

Площадь боковой поверхности (Sб) правильной четырехугольной пирамиды можно выразить формулой:

\[ Sб = \frac{1}{2} \times P \times l, \]

где \( P \) - периметр основания, \( l \) - длина боковой грани.

Для правильной треугольной пирамиды периметр основания (\( P \)) равен троекратной длине стороны основания (\( a \)), поэтому \( P = 3a \). Таким образом, формула для площади боковой поверхности может быть переписана следующим образом:

\[ Sб = \frac{1}{2} \times 3a \times l. \]

Теперь у нас есть связь между площадью боковой поверхности и длиной боковой грани.

Апофема правильной треугольной пирамиды (\( aп \)) связана с длиной боковой грани (\( l \)) и радиусом вписанной окружности (\( r \)) следующим образом:

\[ aп = \sqrt{l^2 - r^2}. \]

Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают различные параметры пирамиды. Мы знаем, что площадь боковой поверхности (\( Sб \)) равна 54, а апофема (\( aп \)) равна 4. Мы можем использовать эти уравнения для нахождения стороны основания (\( a \)).

1. Запишем уравнение для площади боковой поверхности:

\[ 54 = \frac{1}{2} \times 3a \times l. \]

2. Запишем уравнение для апофемы:

\[ 4 = \sqrt{l^2 - r^2}. \]

3. Выразим длину боковой грани (\( l \)) из первого уравнения:

\[ l = \frac{2 \times 54}{3a}. \]

4. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 4 = \sqrt{\left(\frac{2 \times 54}{3a}\right)^2 - r^2}. \]

5. Решим полученное уравнение относительно \( a \).

Этот процесс может быть сложным вручную, но вы можете использовать программу для решения уравнений или калькулятор, способный решать квадратные уравнения.