Question

Дана правильная треугольная пирамида SABC. Апофема SK=6√3 данной пирамиды образует с высотой основания угол равный 60°. Найдите площадь сферы, вписанной в эту пирамиду. Считайте π=3,14.

Answer 1

Ответ: 113.4ед. кв.

Объяснение: во вложении

Answer 2

Для нахождения площади сферы, вписанной в данную правильную треугольную пирамиду SABC, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем площадь треугольника SAB. У нас есть апофема SK и угол между апофемой и основанием пирамиды, равный 60 градусов. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

Площадь треугольника = 1/2 * сторона * сторона * sin(угол),

где сторона - это длина стороны треугольника, а угол - угол между сторонами.

В данном случае сторона треугольника равна SA, и угол между SA и SK равен 60 градусов. Так как угол измеряется в радианах, мы должны перевести 60 градусов в радианы:

60 градусов * (π/180) = π/3 радиан.

Теперь мы можем найти площадь треугольника SAB:

Площадь SAB = 1/2 * SA * SA * sin(π/3) = 1/2 * (6√3) * (6√3) * (√3/2) = 54.

2. Теперь найдем радиус вписанной сферы. Площадь треугольника SAB также равна половине произведения его стороны и радиуса вписанной сферы (по формуле площади треугольника):

54 = 1/2 * SA * r,

где r - радиус вписанной сферы.

Мы знаем SA = 6√3, поэтому:

54 = 1/2 * 6√3 * r.

Теперь найдем радиус r:

r = (54 * 2) / (6√3) = 18/√3 = 6√3.

3. Теперь мы можем найти площадь сферы с радиусом 6√3. Площадь поверхности сферы можно найти по формуле:

Площадь сферы = 4 * π * r^2,

где r - радиус сферы.

Подставляя значение радиуса r = 6√3 и учитывая, что π = 3,14, получаем:

Площадь сферы = 4 * 3,14 * (6√3)^2 = 4 * 3,14 * 108 = 1357,12.

Итак, площадь сферы, вписанной в данную пирамиду, составляет 1357,12 квадратных единиц (с учетом π = 3,14).