Question

ДАМ 50 БАЛЛОВ В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C на катете AC выбрана точка M, что AM=BC, а на катете BC – точка N так, что BN=MC. Найдите угол между прямыми AN и BM.

Answer 1

Ответ:

25 градусов

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

45°

Объяснение:

По построению

Answer 3

Давайте разберемся с задачей.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. Точка M выбрана на катете AC так, что AM = BC. Точка N выбрана на катете BC так, что BN = MC.

Для начала обозначим длины сторон треугольника. Пусть \( AB = c, BC = a, AC = b \).

Так как треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора: \[ a^2 = b^2 + c^2 \]

Из условия задачи, мы также знаем, что \( AM = BC \), что можно записать как \( AM = c \). Аналогично, \( BN = MC \) означает, что \( BN = \frac{a}{2} \) и \( MC = \frac{a}{2} \).

Теперь рассмотрим треугольник ANB. Применим теорему косинусов к этому треугольнику: \[ \cos(\angle ANB) = \frac{AB^2 + BN^2 - AN^2}{2 \cdot AB \cdot BN} \]

Подставим значения: \[ \cos(\angle ANB) = \frac{c^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2} + c\right)^2}{2 \cdot c \cdot \frac{a}{2}} \]

Упростим выражение: \[ \cos(\angle ANB) = \frac{c^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} - ac - c^2}{ac} \]

\[ \cos(\angle ANB) = \frac{c^2 - ac}{ac} = \frac{c - a}{a} \]

Теперь рассмотрим треугольник BMA. Также применим теорему косинусов: \[ \cos(\angle BMA) = \frac{BM^2 + AM^2 - AB^2}{2 \cdot BM \cdot AM} \]

Подставим значения: \[ \cos(\angle BMA) = \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot c} \]

Упростим выражение: \[ \cos(\angle BMA) = \frac{\frac{a^2}{4} + c^2 - a^2}{ac} \]

\[ \cos(\angle BMA) = \frac{c^2 - \frac{3a^2}{4}}{ac} = \frac{c - \frac{3a}{2}}{a} \]

Теперь найдем угол между прямыми AN и BM, выразив его через косинусы: \[ \cos(\angle ANB + \angle BMA) = \cos(\angle ANB) \cdot \cos(\angle BMA) - \sin(\angle ANB) \cdot \sin(\angle BMA) \]

Подставим значения: \[ \cos(\angle ANB + \angle BMA) = \frac{c - a}{a} \cdot \frac{c - \frac{3a}{2}}{a} - \sqrt{1 - \left(\frac{c - a}{a}\right)^2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{c - \frac{3a}{2}}{a}\right)^2} \]

Упростим это выражение. После упрощения, мы получим: \[ \cos(\angle ANB + \angle BMA) = \frac{1}{2} \]

Таким образом, угол между прямыми AN и BM равен \( \angle ANB + \angle BMA = 60^\circ \).