Question

БУДЬ ЛАСКА, ТЕРМІНОВО!!! Установи відповідність між нерівностями та рівносильними їм нерівтостями:A) log2 (x+1) > 2 Б) log1/2 (x + 1) > -2 В) 2^x+1 < 16 1) x + 1 > -2 2) x + 1 < 43) 0 < x + 1 < 44) x + 1 < -2 5) x + 1 > 4​

Answer 1

Ответ:

рішення нижче (теж з оптіми)

Answer 2

Давайте розглянемо кожну з нерівностей та знайдемо їхні рівносильні вирази:

A) \( \log_2(x+1) > 2 \)

Ця нерівність виражає, що логарифм бази 2 від \( (x+1) \) є більшим за 2. Для того, щоб знайти рівносильний вираз, перетворимо нерівність у вигляд, зручний для вираження логарифмів:

\[ \log_2(x+1) > 2 \]

\[ 2^2 < x+1 \]

\[ 4 < x+1 \]

\[ x > 3 \]

Отже, рівносильний вираз цієї нерівності: \( x > 3 \).

B) \( \log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2 \)

Ця нерівність виражає, що логарифм бази \( \frac{1}{2} \) від \( (x+1) \) є більшим за -2. Перетворимо її у вигляд:

\[ \log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2 \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} < x+1 \]

\[ 2^2 < x+1 \]

\[ 4 < x+1 \]

\[ x > 3 \]

Це виглядає дуже схоже на попередню нерівність, тому рівносильний вираз також \( x > 3 \).

C) \( 2^x + 1 < 16 \)

Ця нерівність виражає, що \( 2^x + 1 \) менше за 16. Вирішимо її:

\[ 2^x + 1 < 16 \]

\[ 2^x < 15 \]

Щоб знайти рівносильний вираз, використаємо логарифми:

\[ x < \log_2(15) \]

\[ x < 3.91 \]

Рівносильний вираз: \( x < 3.91 \).

D) \( x + 1 > -2 \)

Ця нерівність виражає, що \( x + 1 \) більше за -2. Вирішимо її:

\[ x + 1 > -2 \]

\[ x > -3 \]

Рівносильний вираз: \( x > -3 \).

E) \( 0 < x + 1 < 4 \)

Ця нерівність виражає, що \( x + 1 \) знаходиться між 0 і 4. Вирішимо її:

\[ 0 < x + 1 < 4 \]

Віднімемо 1 від всіх частин нерівності:

\[ -1 < x < 3 \]

Рівносильний вираз: \( -1 < x < 3 \).

Таким чином, рівносильні вирази для заданих нерівностей:

A) \( x > 3 \)

B) \( x > 3 \)

C) \( x < 3.91 \)

D) \( x > -3 \)

E) \( -1 < x < 3 \)

Answer 3

Давайте розглянемо кожну нерівність окремо і знайдемо їм рівносильні вирази:

A) \( \log_2(x+1) > 2 \)

Щоб виразити x, позбавимось від логарифма:

\[ 2^2 < x + 1 \]

\[ 4 < x + 1 \]

\[ 3 < x \]

Отже, рівносильна нерівність: \( x > 3 \)

B) \( \log_{1/2}(x+1) > -2 \)

Позбавимось від логарифма:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} < x + 1 \]

\[ 4 < x + 1 \]

\[ 3 < x \]

Рівносильна нерівність: \( x > 3 \)

В) \( 2^{x+1} < 16 \)

Позбавимось від ступеня:

\[ 2 \cdot 2^x < 16 \]

\[ 2^x < 8 \]

Рівносильна нерівність: \( x < 3 \)

Г) \( x+1 > -2 \)

Рівносильна нерівність: \( x > -3 \)

Д) \( x+1 < 4 \)

Рівносильна нерівність: \( x < 3 \)

Е) \( 0 < x+1 < 4 \)

Ця нерівність вказує на те, що \( x \) знаходиться між 0 і 4, або, іншими словами, \( 0 < x < 4 \).

Отже, рівносильна нерівність: \( 0 < x < 4 \)

Загалом:

A) \( x > 3 \)

B) \( x > 3 \)

В) \( x < 3 \)

Г) \( x > -3 \)

Д) \( x < 3 \)

Е) \( 0 < x < 4 \)