Question

Точки A(4;0;1),B(4;4;1), C(0;0;5), D(-1;2;0) являются вершинами пирамиды DABC. А) Докажите, что все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания. Б) Определите вид треугольника АВС. Найдите координаты основания высоты пирамиды.

Answer 1

А) Чтобы доказать, что все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания, нам нужно убедиться, что векторы, соединяющие вершины основания (A, B, и C) с вершиной пирамиды (D), перпендикулярны к плоскости, образуемой основанием (ABC).

1. Найдем векторы AB и AC, соединяющие вершины основания:

AB = B - A = (4, 4, 1) - (4, 0, 1) = (0, 4, 0)
AC = C - A = (0, 0, 5) - (4, 0, 1) = (-4, 0, 4)

2. Пересечение векторов AB и AC (векторное произведение) будет перпендикулярным к плоскости ABC. Найдем это векторное произведение:

N = AB x AC = (0, 4, 0) x (-4, 0, 4) = (-16, 0, 0)

3. Теперь у нас есть вектор N, который перпендикулярен к плоскости ABC. Он имеет компоненту только вдоль оси X (поскольку Y и Z компоненты равны нулю), что означает, что он перпендикулярен к плоскости основания ABC.

Таким образом, все боковые ребра пирамиды (DA, DB, и DC) составляют равные углы с плоскостью основания ABC.

Б) Чтобы определить вид треугольника ABC, мы можем найти длины его сторон и используя критерии классификации треугольников.

1. Найдем длины сторон треугольника ABC:

AB = ||AB|| = ||(0, 4, 0)|| = √(0² + 4² + 0²) = 4
AC = ||AC|| = ||(-4, 0, 4)|| = √((-4)² + 0² + 4²) = √(16 + 0 + 16) = √32 = 4√2
BC = ||BC|| = ||(0, -4, 4)|| = √(0² + (-4)² + 4²) = √(0 + 16 + 16) = √32 = 4√2

2. Теперь, используя длины сторон, определим вид треугольника ABC:

Все стороны треугольника ABC имеют одинаковую длину 4√2, что делает его равносторонним треугольником.

3. Найдем координаты основания высоты пирамиды. Основание высоты можно найти как центр масс треугольника ABC. Для этого сложим координаты вершин A, B и C и разделим на 3:

Xсреднее = (4 + 4 + 0) / 3 = 8 / 3
Yсреднее = (0 + 4 + 0) / 3 = 4 / 3
Zсреднее = (1 + 1 + 5) / 3 = 7 / 3

Таким образом, координаты основания высоты пирамиды равны (8/3, 4/3, 7/3).

Answer 2

Давайте рассмотрим пирамиду DABC и решим поставленные вопросы.

А) Докажите, что все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Для доказательства этого утверждения мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Если вектор направлен перпендикулярно плоскости, то скалярное произведение этого вектора на вектор нормали к плоскости будет равно нулю.

Пусть \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - боковые ребра пирамиды, \(\vec{N}\) - вектор нормали к плоскости основания ABC. Тогда угол \(\theta\) между боковым ребром и плоскостью основания можно выразить следующим образом:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{N} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{N}\| \cdot \|\vec{AB}\|} \]

Если \(\theta = 90^\circ\), то \(\cos(\theta) = 0\), следовательно, скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, чтобы доказать, что все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания, необходимо проверить, что скалярные произведения \(\vec{N} \cdot \vec{AB}\), \(\vec{N} \cdot \vec{AC}\), \(\vec{N} \cdot \vec{BC}\) равны нулю.

Б) Определите вид треугольника ABC.

Для определения вида треугольника ABC рассмотрим длины сторон и углы. Векторы сторон можно выразить следующим образом:

\[\vec{AB} = B - A = \langle 0, 4, 0 \rangle\] \[\vec{AC} = C - A = \langle -4, 0, 4 \rangle\] \[\vec{BC} = C - B = \langle -4, -4, 4 \rangle\]

Теперь найдем длины сторон:

\[AB = \|\vec{AB}\| = 4\] \[AC = \|\vec{AC}\| = 4\sqrt{2}\] \[BC = \|\vec{BC}\| = 4\sqrt{3}\]

Теперь рассмотрим углы треугольника ABC. Поскольку векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) уже известны, мы можем использовать скалярное произведение:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|}\]

Теперь можем определить тип треугольника ABC.

В) Найдите координаты основания высоты пирамиды.

Высота пирамиды проходит из вершины D перпендикулярно плоскости ABC. Плоскость ABC задается уравнением, проходящим через точки A, B, и C. Выразим уравнение плоскости ABC:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости ABC.

Найдем координаты вектора нормали:

\[\vec{AB} \times \vec{AC} = \langle 16, 16, 16 \rangle\]

Таким образом, уравнение плоскости ABC:

\[16x + 16y + 16z + D = 0\]

Теперь подставим координаты точки D (-1, 2, 0) в уравнение плоскости:

\[16(-1) + 16(2) + 16(0) + D = 0\]

\[D = -32\]

Таким образом, уравнение плоскости ABC:

\[16x + 16y + 16z - 32 = 0\]

Теперь, чтобы найти координаты основания высоты, нужно пересечь прямую, проходящую через вершину D и направленную вдоль высоты, с плоскостью ABC. Уравнение прямой:

\[ \frac{x - (-1)}{16} = \frac{y - 2}{16} = \frac{z - 0}{16} \]

Теперь подставим это в уравнение плоскости ABC и решим систему уравнений. Полученные координаты будут основанием высоты пирамиды.