Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-5; -3), В(1,5), С (9; -1), D(3; -9) є квадратом

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-5, -3), В(1, 5), С(9, -1), D(3, -9) є квадратом, нам потрібно перевірити декілька умов.

1. Перевірка довжин сторін: Ми маємо перевірити, чи є всі сторони чотирикутника ABCD однакової довжини. Щоб це зробити, виміряємо довжину кожної сторони і порівняємо їх між собою.

Відстань між точками А(-5, -3) і В(1, 5) можна обчислити за формулою відстані між двома точками:

довжина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

де (x1, y1) = (-5, -3) і (x2, y2) = (1, 5)

довжина AB = √((1 - (-5))² + (5 - (-3))²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Таким чином, довжина AB становить 10 одиниць.

Аналогічно, виміряємо довжину сторін BC, CD і DA:

довжина BC = √((9 - 1)² + (-1 - 5)²) = √(8² + (-6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10 довжина CD = √((3 - 9)² + (-9 - (-1))²) = √((-6)² + (-8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 довжина DA = √((-5 - 3)² + (-3 - (-9))²) = √((-8)² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10

Отримали, що всі сторони ABCD мають однакову довжину 10 одиниць.

2. Перевірка кути: Для того, щоб чотирикутник ABCD був квадратом, всі його кути повинні бути прямими кутами (тобто мати міру 90 градусів).

Ми можемо використати формулу знаходження кута між двома векторами, аби перевірити, чи кути ABC, BCD, CDA та DAB дорівнюють 90 градусам.

Наприклад, для кута ABC:

Вектор AB = (1 - (-5), 5 - (-3)) = (6, 8) Вектор BC = (9 - 1, -1 - 5) = (8, -6)

Ми можемо використати формулу для знаходження кута між двома векторами:

cos(θ) = (AB · BC) / (||AB|| ||BC||)

де AB · BC - скалярний добуток векторів AB і BC, ||AB|| і ||BC|| - довжини векторів AB і BC.

cos(θ) = (6 * 8 + 8 * (-6)) / (10 * 10) = (48 - 48) / 100 = 0

Отримали, що cos(θ) = 0. Це означає, що кут ABC дорівнює 90 градусам. Аналогічно, перевіряємо кути BCD, CDA та DAB і підтверджуємо, що вони також дорівнюють 90 градусам.

3. Перевірка рівних діагоналей: Квадрат має рівні діагоналі. Щоб перевірити, чи ABCD є квадратом, ми маємо порівняти довжини його діагоналей.

Діагоналі AC і BD можна обчислити за формулою відстані між двома точками:

діагональ AC = √((9 - (-5))² + (-1 - (-3))²) = √(14² + 2²) = √(196 + 4) = √200 діагональ BD = √((1 - 3)² + (5 - (-9))²) = √((-2)² + 14²) = √(4 + 196) = √200

Отримали, що діагоналі AC і BD мають однакову довжину √200 одиниць.

Висновок: Ми перевірили умови, що всі сторони ABCD мають однакову довжину, всі кути дорівнюють 90 градусам і діагоналі AC і BD мають однакову довжину. Отже, чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-5, -3), В(1, 5), С(9, -1), D(3, -9) є квадратом.