Question

Доведіть що чотирикутник з вершинами А(-2;0),В(-4;6)С(2;8),D(4;2)–квадрат.Знайдіть його периметр, площу, радіус вписаного й описаного кіл

Answer 1

Відповідь:

2.0-67=е²

Пояснення:! +#+_+₽

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, мы можем воспользоваться несколькими признаками квадрата:

1. Все углы квадрата равны 90 градусов. 2. Все стороны квадрата равны между собой.

Давайте проверим оба эти признака:

1. Углы: Для углов A, B, C и D мы можем найти их меру, используя формулу для вычисления угла между двумя векторами. Пусть векторы AB, BC, CD и DA обозначают стороны четырехугольника:

- Вектор AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-4 - (-2), 6 - 0) = (-2, 6) - Вектор BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (2 - (-4), 8 - 6) = (6, 2) - Вектор CD = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (4 - 2, 2 - 8) = (2, -6) - Вектор DA = (x_A - x_D, y_A - y_D) = (-2 - 4, 0 - 2) = (-6, -2)

Теперь мы можем найти скалярное произведение этих векторов:

AB · BC = (-2 * 6) + (6 * 2) = -12 + 12 = 0 BC · CD = (6 * 2) + (2 * -6) = 12 - 12 = 0 CD · DA = (2 * -6) + (-6 * -2) = -12 + 12 = 0 DA · AB = (-6 * -2) + (-2 * 6) = 12 - 12 = 0

Скалярное произведение всех сторон равно 0, что означает, что все углы четырехугольника ABCD прямые углы (90 градусов).

2. Стороны: Для определения, являются ли стороны четырехугольника ABCD равными, мы можем вычислить длины сторон:

- AB: \(\sqrt{(-2 - (-4))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}\) - BC: \(\sqrt{(2 - (-4))^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}\) - CD: \(\sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}\) - DA: \(\sqrt((-2 - 4)^2 + (0 - 2)^2) = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}\)

Все стороны имеют одинаковую длину, \(\sqrt{40}\), что подтверждает, что четырехугольник ABCD - это квадрат.

Теперь, когда мы убедились, что ABCD - это квадрат, мы можем найти его периметр, площадь, радиус вписанного и описанного кругов.

Периметр квадрата равен сумме всех его сторон, а так как все стороны равны \(\sqrt{40}\), то периметр равен \(4 \cdot \sqrt{40}\).

Площадь квадрата вычисляется по формуле \(S = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата. В данном случае, \(a = \sqrt{40}\), поэтому площадь равна \(S = (\sqrt{40})^2 = 40\).

Радиус вписанного и описанного кругов можно найти следующим образом:

- Радиус вписанного круга (r) равен половине длины стороны квадрата, то есть \(r = \frac{\sqrt{40}}{2}\). - Радиус описанного круга (R) равен половине диагонали квадрата, а диагональ можно найти как \(\sqrt{2}\) раза длину стороны, то есть \(R = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{40}}{2} = \frac{\sqrt{80}}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}\).

Таким образом: - Периметр квадрата \(= 4 \cdot \sqrt{40}\). - Площадь квадрата \(= 40\). - Радиус вписанного круга \(= \frac{\sqrt{40}}{2}\). - Радиус описанного круга \(= 2\sqrt{5}\).