Question

1) Плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой L. Прямые L и а пересекаются, а прямые L и b параллельны. Определите, могут ли прямые а и в: а) лежать в одной из плоскостей; б) лежать в разных плоскостях альфа и бетта; в) пересекать плоскости альфа и бетта. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b. 2. Плоскость а проходит через сторону AС треугольника ABC. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN: C=2:3, AM: AB = 3:5. а) Докажите, что MN || альфа.б) Найдите MN, если AC = 30 см. 3. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми AB и CD, если AB = CD=6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и BC=3 см.​

Answer 1

Объяснение:

Прямая а может пересекать обе плоскости, если не лежит ни в одной из них (рис. 1) Прямая а может лежать в одной из плоскостей (например, на рис. 2 в плоскости β), тогда другую плоскость она пересекает. Прямая b может не лежать ни в одной из плоскостей, тогда она параллельна каждой. (рис. 3) Прямая b может лежать в одной плоскости (например, на рис. 4 в β), тогда она параллельна другой плоскости. Но пересекать плоскости прямая b не может. Взаимное расположение прямых а и b однозначно определить нельзя. Они могут быть скрещивающимися или пересекаться. Но не могут быть параллельны. 2. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость. Пусть точки А, В и С лежат в одной плоскости. АВ⊂α, DC∩α = C, C∉AB ⇒ АВ и CD - скрещивающиеся. К - середина AD, Р - середина СВ. КР = 3 см. Проведем КТ║АВ и ТР║CD. Тогда угол между прямыми КТ и ТР будет равен углу между прямыми АВ и CD. КТ - средняя линия ΔABD ⇒ КТ = АВ/2 = 3 см ТР - средняя линия ΔСBD ⇒ ТР = CD/2 = 3 см ΔКТР равносторонний, значит ∠КТР = 60°, значит и угол между прямыми АВ и CD равен 60°

Answer 2

1) Взаимное расположение прямых a и b

Из условия задачи известно, что прямые L и a пересекаются и прямые L и b параллельны.

Если прямые L и b параллельны, то они лежат в одной плоскости. В данном случае, это плоскость альфа. Таким образом, прямая b лежит в плоскости альфа.

Также из условия известно, что прямые L и a пересекаются. Это означает, что прямая a не может лежать в плоскости альфа, так как в этом случае она не пересекала бы прямую L. Следовательно, прямая a лежит в разной плоскости, отличной от плоскости альфа.

Итак, ответы на вопросы:

а) Прямые a и b не могут лежать в одной из плоскостей.

б) Прямые a и b лежат в разных плоскостях: прямая a лежит в плоскости, отличной от плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа.

в) Прямые a и b пересекают плоскости альфа и бетта.

2) Доказательство MN || альфа и нахождение MN

а) Доказательство MN || альфа

Из условия задачи известно, что плоскость а проходит через сторону AC треугольника ABC. Возьмем точку D на стороне AB так, чтобы AD:AB = 3:5. Также из условия известно, что BN:C = 2:3.

Так как плоскость а проходит через сторону AC треугольника ABC, то точки M и N лежат в плоскости а. То есть, линия MN лежит в плоскости а.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Из условия известно, что BN:C = 2:3. Таким образом, точка N делит отрезок BC в отношении 2:3. Аналогично, точка M делит отрезок AB в отношении 3:5.

Так как MN лежит в плоскости а, а прямая AB лежит в плоскости а, то линия MN параллельна прямой AB.

Итак, доказано, что MN || альфа.

б) Нахождение MN

Из условия задачи известно, что AC = 30 см.

Так как точка M делит отрезок AB в отношении 3:5, то AM:AB = 3:5. Аналогично, точка N делит отрезок BC в отношении 2:3, то BN:BC = 2:3.

Так как AC = 30 см, то AM = (3/5) * AB = (3/5) * 30 см = 18 см и BN = (2/3) * BC = (2/3) * 30 см = 20 см.

Так как MN параллельна AB, то MN делит отрезок AC в том же отношении, то есть MN:AC = AM:AB = 18 см:30 см = 3:5.

Таким образом, MN = (3/5) * AC = (3/5) * 30 см = 18 см.

Итак, MN = 18 см.

3) Нахождение угла между прямыми AB и CD

Из условия задачи известно, что точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Также известно, что AB = CD = 6 см и расстояние между серединами отрезков AD и BC = 3 см.

Поскольку точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, прямые AB и CD являются скрещивающимися прямыми.

Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, можно воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB · CD) / (|AB| · |CD|),

где AB · CD - скалярное произведение векторов AB и CD, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD.

Из условия известно, что AB = CD = 6 см, поэтому |AB| = |CD| = 6 см.

Также из условия известно, что расстояние между серединами отрезков AD и BC = 3 см. Это означает, что вектор AD и вектор BC равны по длине и направлению.

Так как AB и CD являются скрещивающимися прямыми, вектор AD и вектор BC являются направляющими векторами для прямых AB и CD.

Итак, AB · CD = |AD| · |BC| = |AB| · |BC| = 6 см · 3 см = 18 см².

Теперь найдем длины векторов AD и BC. Расстояние между серединами отрезков AD и BC равно 3 см, поэтому |AD| = |BC| = 3 см.

Итак, cos(θ) = (18 см²) / ((6 см) · (3 см)) = 1.

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен 0 градусов.

Итак, угол между прямыми AB и CD равен 0 градусов.