Question

Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости α, а вершина С не лежит в этой плоскости. Точки М и N - середины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости α.​помогите очень срочно надо

Answer 1

Ответ:

Признак параллельности прямой и плоскости:

• Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

Так как М и N - середины сторон АС и ВС треугольника АВС, то MN - его средняя линия, значит

MN║AB.

АВ ⊂ α, значит MN║α.

Answer 2

Для доказательства, что прямая MN параллельна плоскости α, мы можем воспользоваться свойствами средних линий в треугольнике и свойствами параллельных плоскостей.

Поскольку M - середина стороны AC, то отрезок AM будет равен MC. Аналогично, поскольку N - середина стороны BC, отрезок BN равен NC.

Теперь предположим, что прямая MN не параллельна плоскости α. Это означает, что прямая MN пересекает плоскость α в какой-то точке P.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMP, который лежит в плоскости α и включает в себя отрезок AM. Также рассмотрим треугольник BNP, который также лежит в плоскости α и включает в себя отрезок BN.

Поскольку отрезок AM равен отрезку MC, а отрезок BN равен отрезку NC, то эти два треугольника имеют одинаковые стороны и равные углы.

Теперь рассмотрим угол MPA в треугольнике AMP и угол BPN в треугольнике BNP. Поскольку треугольники AMP и BNP имеют одинаковые стороны и равные углы, то угол MPA также равен углу BPN.

Теперь рассмотрим треугольник CPN. Угол BPN равен углу CPN, так как они соответственные углы при параллельных прямых BN и CP, и угол BPN равен углу MPA.

Теперь мы видим, что угол MPA равен углу CPN. Однако точка P лежит в плоскости α, и это означает, что угол MPA лежит в плоскости α.

Таким образом, у нас есть угол MPA, который лежит в плоскости α, и угол MPA, который лежит вне плоскости α (поскольку точка P лежит в плоскости α и внутри треугольника AMP). Это противоречие, и, следовательно, наше предположение о том, что прямая MN пересекает плоскость α, неверно.

Таким образом, прямая MN параллельна плоскости α.