Question

Точка М находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата ABCD, угол между прямой MA и плоскостью квадрата равна 60 °. Найдите расстояние от точки M к стороне квадрата.

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки М до середины стороны квадрата (апофема пирамиды МАВСD) ≈ 11 см

Объяснение:

Дано:

Квадрат АВСD

MA = МВ = МС = MD = 12 см

α = 60°

MАВСD - правильная четырёхугольная пирамида

Найти:

Апофему А  пирамиды

Решение:

Опустим перпендикуляр из точки М на основание АВСD. Он пересечёт основание в точке О.  МО - высота пирамиды.  ОА - проекция бокового ребра МА пирамиды на основание, поэтому заданный в условии угол α = 60° - угол между боковым ребром МА и его проекцией ОА.

В прямоугольном треугольнике МАО (∠МОА = 90°) найдём катеты ОА и МО

МО = МА · sin α = 12 · sin α = 12 · 0,5√3 = 6√3 (см)

OA = MA · cos α = 12 · cos 60° = 12 · 0.5 = 6 (см)

ОА является половиной диагонали квадрата АВСD.

Сторона квадрата а = 2АО : √2 = 12 : √2 = 6√2 (cм)

Апофему пирамиды найдём, используя теорему Пифагора

А² = МО² + (0,5а)² =  (6√3)² + (0,5 · 6√2)² = 108 + 18 = 126 (cм²)

А ≈ 11,22 см

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться геометрическими свойствами квадрата и прямой на плоскости.

Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Рассмотрим квадрат ABCD. Поскольку точка M находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата, мы можем построить окружность радиусом 12 см с центром в точке M, которая будет проходить через вершины квадрата.

Шаг 2: Теперь рассмотрим прямую MA. Угол между прямой MA и плоскостью квадрата равен 60 градусам. Это означает, что прямая MA образует равносторонний треугольник с прямой, перпендикулярной плоскости квадрата.

Шаг 3: Расстояние от точки M до стороны квадрата можно найти, рассматривая треугольник, образованный прямой MA и перпендикулярной прямой, проведенной из точки M к стороне квадрата. Поскольку угол между прямой MA и плоскостью квадрата равен 60 градусам, угол между перпендикулярной прямой и плоскостью квадрата также будет 60 градусов. Таким образом, треугольник будет равнобедренным.

Шаг 4: Для нахождения расстояния от точки M до стороны квадрата, можно использовать теорему косинусов. Пусть x обозначает расстояние от точки M до стороны квадрата. Тогда, зная радиус окружности (12 см) и угол между двумя сторонами равнобедренного треугольника (60 градусов), мы можем записать следующее уравнение:

cos(60 градусов) = x / 12 см

Шаг 5: Решим уравнение для x:

x = 12 см * cos(60 градусов)

Вычислив значение косинуса 60 градусов (равного 0.5), получим:

x = 12 см * 0.5 = 6 см

Таким образом, расстояние от точки M до стороны квадрата составляет 6 см.