Question

В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности призмы (Через производную)

Answer 1

Пусть сторона основания равна х. Периметр основания равен Р = 3х.

Высота Н призмы равна: H = √(2² - ²) = √(4 - x²).

Выражаем площадь боковой поверхности через х.

Sбок = РН = 3x√(4 - x²).

Производная этой функции равна: S'бок = (-6(x^2 - 2))/√(4 - x²).

Приравняем её нулю (достаточно числитель): (-6(x^2 - 2) = 0.

Отсюда х = √2 (отрицательное значение не принимаем).

Ответ: Sбок(макс) = 3√2*√(4-(√2)²) = 6.

Answer 2

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле `2*a*h`, где `a` - длина диагонали боковой грани, а `h` - высота призмы. В данном случае, `a` равно 2, а `h` мы должны найти.

Чтобы найти `h`, мы можем использовать производные. Предположим, что `h` зависит от некоторого параметра `x`, и мы хотим найти максимум площади боковой поверхности. Тогда производная площади по `x` будет равна нулю.

Формула площади боковой поверхности призмы:

S = 2*a*h

Производная этой функции по `h` будет:

dS/dh = 2*a

Установка производной равной нулю дает нам:

2*a = 0

Это уравнение не имеет решения, что означает, что производная площади боковой поверхности призмы не равна нулю. Это означает, что максимум площади боковой поверхности призмы не достигается при изменении `h`.

Таким образом, максимальное значение площади боковой поверхности призмы зависит только от значения `a` (диагонали боковой грани). В данном случае, `a` равно 2, поэтому максимальное значение площади боковой поверхности призмы будет равно `2*2*h = 4h`.

Чтобы найти `h`, нам нужно решить уравнение `a^2 = 4*h`, из которого `h = a^2 / 4`. Подставляя `a = 2`, получаем `h = 2^2 / 4 = 1`.

Таким образом, наибольшее значение площади боковой поверхности призмы равно `4h = 4*1 = 4`.