Question

СРОЧНО! ДАЮ 25 БАЛЛОВ Дан четырехугольник с вершинами A (-2;-2), B (-3;1), C ( 7;7) и D (3;-1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Answer 1

..вот..............................

Answer 2

Для нахождения синуса угла между диагоналями четырехугольника, давайте определим сначала координаты диагоналей, затем найдем векторы этих диагоналей.

Диагонали четырехугольника \(AC\) и \(BD\) могут быть найдены по следующим вершинам:

Диагональ \(AC\) соединяет вершины \(A(-2,-2)\) и \(C(7,7)\).

Вектор \(AC\) можно найти вычитанием координат начальной вершины из конечной:

\[ \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 7 - (-2) \\ 7 - (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 9 \end{bmatrix} \]

Диагональ \(BD\) соединяет вершины \(B(-3,1)\) и \(D(3,-1)\).

Вектор \(BD\) можно найти аналогичным образом:

\[ \overrightarrow{BD} = \begin{bmatrix} 3 - (-3) \\ -1 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \]

Синус угла между векторами можно найти через их скалярное произведение и длины векторов по формуле:

\[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} \]

Где \(|\overrightarrow{AC}|\) - длина вектора \(\overrightarrow{AC}\), \(|\overrightarrow{BD}|\) - длина вектора \(\overrightarrow{BD}\), а \(|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|\) - модуль векторного произведения векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{162}\)

\(|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}\)

Скалярное произведение \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36\)

Теперь, по формуле синуса угла между векторами:

\[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{36}{\sqrt{162} \cdot \sqrt{40}} \]

Теперь вычислим значение синуса угла:

\[ \sin \theta = \frac{36}{\sqrt{162} \cdot \sqrt{40}} \approx \frac{36}{35.9188} \approx 0.9991 \]

Таким образом, синус угла между диагоналями четырехугольника составляет приблизительно 0.9991.