Question

Чи є чотирикутник АВСD квадратом, якщо А (5; –1), В (–7; –6), С (–12; 6) і D (0; 11)?

Answer 1

Признаки квадрата: равенство сторон и диагоналей.

Длины сторон    

AB =  √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   √169   = 13

BC  = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   √169  = 13

CD = √((xD-xC)² + (yD-yC)²) =   √169   = 13

AD = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   √169   = 13

Стороны равны.

AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   √338   = 18,38477631

BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   √338   = 18,38477631

Диагонали - тоже.

Ответ: АВСД - квадрат.

Answer 2

Щоб визначити, чи є чотирикутник \(ABCD\) квадратом, спочатку треба переконатися, що він є паралелограмом (дві протилежні сторони паралельні) і ромбом (всі чотири сторони однакової довжини).

Спершу, давайте знайдемо довжини сторін чотирикутника \(ABCD\), використовуючи координати точок \(A(5, -1)\), \(B(-7, -6)\), \(C(-12, 6)\) та \(D(0, 11)\).

Довжина сторони \(AB\) обчислюється за формулою відстані між двома точками у декартовій системі координат:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] \[AB = \sqrt{(-7 - 5)^2 + (-6 - (-1))^2}\] \[AB = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}\] \[AB = \sqrt{144 + 25}\] \[AB = \sqrt{169}\] \[AB = 13\]

Аналогічно, знаходження довжин інших сторін: \(BC = \sqrt{(-12 - (-7))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) \(CD = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (11 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) \(DA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-1 - 11)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

Таким чином, у нас чотири сторони чотирикутника \(ABCD\) рівні за довжиною (\(AB = BC = CD = DA = 13\)). Це говорить нам про те, що чотирикутник - ромб.

Далі, щоб переконатися, що він є квадратом, потрібно виявити, чи вони формують прямі кути.

Для цього можна розглянути вектори, утворені між суміжніми вершинами, і перевірити, чи є їхні скалярні добутки рівні нулю.

Вектори \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) і \(\overrightarrow{DA}\) можна знайти, використовуючи координати вершин:

\(\overrightarrow{AB} = (-7 - 5, -6 - (-1)) = (-12, -5)\) \(\overrightarrow{BC} = (-12 - (-7), 6 - (-6)) = (-5, 12)\) \(\overrightarrow{CD} = (0 - (-12), 11 - 6) = (12, 5)\) \(\overrightarrow{DA} = (5 - 0, -1 - 11) = (5, -12)\)

Тепер знайдемо скалярні добутки цих векторів:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-12) \cdot (-5) + (-5) \cdot 12 = 60 - 60 = 0\) \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5) \cdot 12 + 12 \cdot 5 = -60 + 60 = 0\) \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 12 \cdot 5 + 5 \cdot (-12) = 60 - 60 = 0\) \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \cdot (-12) + (-5) \cdot 5 = -60 - 60 = -120 \neq 0\)

Отже, скалярний добуток \(\overrightarrow{DA}\) та \(\overrightarrow{AB}\) не дорівнює нулю, тому вони не перпендикулярні. Це означає, що чотирикутник \(ABCD\) - ромб, але не є квадратом, оскільки у нього не всі кути прямі.