Question

1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ ВD так, что СВD = АDВ, АВD = СDВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. 2. Одна из сторон прямоугольника в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35º. Найти углы ромба. 4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раза. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см. 5. Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см. 6. Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

Answer 1

Ответ:

1.Только там BC//AD надо писать под CBD=ADB

Answer 2

1. Доказательство того, что четырехугольник АВСD является параллелограммом:

Дано: В четырехугольнике АВСD проведена диагональ ВD так, что СВD = АDВ и АВD = СDВ.

Доказательство: Чтобы доказать, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Из условия задачи у нас есть два равенства углов:

1. СВD = АDВ
2. АВD = СDВ

Из этих равенств следует, что углы ВСD и ВАD тоже равны между собой:

1. Угол ВСD = Угол АDВ
2. Угол ВАD = Угол СDВ

Теперь обратим внимание на две пары треугольников: треугольник ВСD и треугольник АВD, а также треугольник ВАD и треугольник СДВ.

В обоих случаях у нас есть две пары равных углов:

1. Углы ВСD и АDВ равны (по условию)
2. Углы ВАD и СDВ равны (по условию)

Это означает, что эти треугольники подобны (по признаку "угол-угол-угол").

Также известно, что у подобных треугольников пропорциональны их стороны.

Так как ВD является диагональю четырехугольника АВСD, она делит его на два подобных треугольника: ВСD и АВD.

Таким образом, стороны ВС и АВ пропорциональны сторонам СD и ВD, а стороны ВD и СВ пропорциональны сторонам CD и AD.

Из этого следует, что соответствующие стороны четырехугольника АВСD параллельны, так как они пропорциональны и имеют одинаковые углы.

Таким образом, четырехугольник АВСD является параллелограммом.

2. Найдем стороны прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника будет х, а другая сторона - 5x (так как одна сторона в 5 раз больше другой).

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон: Периметр = 2 * (х + 5х) = 2 * 6х = 12х

Условие задачи гласит, что периметр равен 36 см, поэтому 12х = 36. Делим обе части уравнения на 12: х = 3.

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 3 см, а другая сторона равна 5 * 3 = 15 см.

3. Найдем углы ромба.

Дано: Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35º.

У ромба все стороны равны между собой, а диагонали делят его на равнобедренные треугольники.

Поскольку диагональ делит угол ромба пополам, у нас есть два равных угла, каждый из которых равен (180º - 35º) / 2 = 145º / 2 = 72.5º.

Таким образом, у ромба все углы равны 72.5º.

4. Найдем периметр параллелограмма.

Пусть длина отрезка АР будет х, а длина отрезка ВР будет 6х (по условию АР меньше ВР в 6 раз).

Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон: Периметр = АВ + ВС + CD + АD

Мы знаем, что АВ = 14 см (по условию).

Также из доказательства в пункте 1 мы знаем, что стороны ВС и АВ параллельны, поэтому ВС = АВ = 14 см.

Таким же образом, стороны CD и АD параллельны, и CD = AD.

Теперь у нас есть следующее: Периметр = 14 + 14 + CD + CD = 28 + 2CD

Также дано, что АР меньше ВР в 6 раз, то есть ВР = 6х, и АР = х.

Сумма АР и ВР равна диагонали ВD: АР + ВР = ВD

Заменяем значения: х + 6х = ВD => 7х = ВD

Также в треугольнике АВD, стороны AD и ВD параллельны, поэтому отрезок АР также делит ВD на 7 равных отрезков: ВР = 7х.

Теперь подставим это значение в выражение для периметра: Периметр = 28 + 2CD

CD = ВР = 7х

Периметр = 28 + 2 * 7х = 28 + 14х

Условие задачи не дает нам информации