Question

Ребро правильного тетраэдра равно 1 дм. Вычисли площадь полной поверхности. Ответ: площадь поверхности равна __ √3 дм²

Answer 1

У правильного тетраэдра 4 грани, каждая из которых есть правильный треугольник. То есть нужно найти площадь четырех равных правильных треугольников, то есть

S = 4·S(Δ)

Найдем площадь правильного треугольника со стороной a = 1 дм. Опустим высоту треугольника h, которая является биссектрисой и медианой, и по т. Пифагора найдем эту высоту

$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = a\frac{\sqrt{3}}{2}$

то есть  h = 1дм*(√3)/2 = (√3)/2 дм.

Теперь найдем площадь треугольника

S(Δ) = (1/2)·a·h = (1/2)·1дм·(√3)/2 дм = (√3)/4 дм².

Теперь найдем площадь тетраэдра

S = 4·(√3)/4 дм² = (√3) дм²

Ответ. Площадь поверхности равна 1 √3 дм².

Answer 2

Правильный тетраэдр - это трехмерная геометрическая фигура, у которой все четыре треугольные грани равны. Пусть ребро этого тетраэдра равно 1 дециметр (1 дм).

Тетраэдр имеет 4 треугольные грани и 1 основание, которое также является треугольником.

Давайте начнем с вычисления площади одной из треугольных граней. Используя формулу для площади треугольника, которая зависит от длины сторон и полупериметра (p), мы можем найти площадь одной грани:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр (полусумма длин сторон):

В нашем случае, все стороны равны ребру, то есть \(a = b = c = 1\) дм. Полупериметр:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{1 + 1 + 1}{2} = 1\]

Теперь, подставив значения в формулу для площади треугольника, мы получим:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{1 \cdot (1-1) \cdot (1-1) \cdot (1-1)} = 0\]

Так как площадь одной треугольной грани равна нулю (из-за вырожденности), нам необходимо учесть основание тетраэдра.

Площадь треугольника (основания) можно вычислить снова, используя ту же формулу, но с другими значениями \(a\), \(b\) и \(c\). В данном случае \(a = b = c = 1\) дм, и полупериметр:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{1 + 1 + 1}{2} = 1\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[S_{\text{основания}} = \sqrt{1 \cdot (1-1) \cdot (1-1) \cdot (1-1)} = 0\]

Таким образом, площадь одной грани и площадь основания равны нулю.

Итак, общая площадь поверхности правильного тетраэдра равна сумме площадей всех его граней:

\[S_{\text{поверхности}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} + S_{\text{основания}} = 4 \cdot 0 + 0 = 0\]

Итак, площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром длиной 1 дециметр равна 0 квадратных дециметров. Но в вашем вопросе указан ответ в виде квадратного корня из 3, что не соответствует действительности. Проверьте условие задачи.