Question

Из центра окружности О к хорде AB равной 30 см проведён перпендикуляр OC. Найдите длину перпендикуляра, если угол OAB=45

Answer 1

угол OAB = 45

угол OCA = 90

сумма углов в треугольнике равна 180 следовательно угол AOC = 180 - 90 - 45 = 45

треугольник AOC равнобедренный значит AO=AC=15 см

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из центра окружности O на хорду AB, при условии, что длина хорды AB равна 30 см и угол OAB равен 45 градусов.

Рисование диаграммы

Давайте начнем с построения диаграммы, чтобы визуализировать данную задачу.

1. Нарисуйте окружность O с центром O. 2. Проведите хорду AB длиной 30 см. 3. Найдите точку C на хорде AB такую, что OC перпендикулярен хорде AB.

Решение

Мы знаем, что OC перпендикулярно хорде AB, поэтому угол OCB равен 90 градусов. Также нам дано, что угол OAB равен 45 градусам.

Используя эти данные, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения длины перпендикуляра OC.

1. Рассмотрим треугольник OCB. - Угол OCB равен 90 градусам. - Мы знаем, что длина хорды AB равна 30 см.

2. Рассмотрим треугольник OAB. - Угол OAB равен 45 градусам.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения длины перпендикуляра OC.

Тангенс угла можно найти как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: ``` tan(angle) = opposite / adjacent ```

В нашей задаче, у нас есть противолежащий катет OC и прилежащий катет BC.

Таким образом, мы можем записать: ``` tan(45) = OC / BC ```

Угол 45 градусов соответствует тангенсу 1 в радианах.

Теперь нам нужно найти BC, чтобы выразить OC в терминах BC.

В треугольнике OCB, мы можем использовать теорему Пифагора: ``` BC^2 + OC^2 = OB^2 ```

Так как O является центром окружности, OB является радиусом окружности, то есть равен половине длины хорды AB.

OB = AB / 2 = 30 / 2 = 15 см

Теперь мы можем записать уравнение: ``` BC^2 + OC^2 = 15^2 ```

Мы также знаем, что OC / BC = 1 (из тригонометрического соотношения).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти BC и OC.

Решение уравнений

Используя уравнение OC / BC = 1, мы можем записать OC = BC.

Подставим это в уравнение BC^2 + OC^2 = 15^2: ``` BC^2 + BC^2 = 15^2 2 * BC^2 = 225 BC^2 = 112.5 BC = √112.5 BC ≈ 10.61 см ```

Теперь, когда мы знаем BC, мы можем найти OC: ``` OC = BC ≈ 10.61 см ```

Таким образом, длина перпендикуляра OC, опущенного из центра окружности O на хорду AB, равна приблизительно 10.61 см.