Question

В конус у которого осевое сечение – правильный треугольник вписан шар. Найдите площадь поверхности шара, если образующая конуса равна 3 см.

Answer 1

Дано:

Шар вписан в конус.

Осевое сечение конуса - правильный △АВР.

АР = РВ = АВ = 3 см

Найти:

S поверхности шара - ?

Решение:

Так как △АВР - правильный ⇒ он ещё и равнобедренный.

РО₁ - высота.

"Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и биссектрисой".

⇒ АО₁ = О₁В = 3/2 = 1,5 см, так как РО₁ - медиана.

Найдём высоту РО₁, по теореме Пифагора: (с = √(а² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты).

а = √(c² - b²) = √(3² - 1,5²) = (3√3)/2 (см).

Итак РО₁ = (3√3)/2 (см).

АО₁ = 1,5 (см).

РО₁ = 3√3/2 (см).

⇒ S△ABP = 1/2 · PO1 · AB = PO1 · AO1 = 1,5 · 3√3/2 = 9√3/4 (см²).

АР = РВ = АВ = 3 (cм).

p - полупериметр.

р = АР + РВ + АВ/2 = 3 + 3 + 3/2 = 4,5 (см).

R вписанного шара (ОО1) = S△ABP/p = 9√3/4 : 4,5 = √3/2 (см).

S поверхности шара = 4пR².

или

S поверхности шара = пD².

D = 2R

S поверхности шара = п(4 · (√3/2)²) = п(3/4 · 4) = 3п см²

S поверхности = п(√3/2 · 2)² = п((√3)²) = 3п см²

Ответ: 3п (см²).

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать несколько геометрических свойств. Давайте разберемся по порядку. Первое, что нам известно, это то, что осевое сечение конуса представляет собой правильный треугольник. Это означает, что все его стороны и углы равны между собой. Пусть длина стороны треугольника равна a. Далее, нам известно, что данный конус вписан в сферу. Это означает, что каждая вершина треугольника касается сферы. Из свойств вписанных фигур, мы знаем, что прямая, соединяющая центр сферы и точку касания, является высотой треугольника. Пусть высота треугольника равна h. Также, нам известно, что образующая конуса равна 3 см. Образующая конуса представляет собой отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания. Обозначим образующую как l. Теперь мы можем приступить к решению задачи: #### Нахождение стороны треугольника Так как данный треугольник является правильным, то все его стороны равны между собой. Поэтому мы можем найти сторону треугольника, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и стороной треугольника: a^2 = (l/2)^2 + h^2 Так как l = 3 см, мы можем подставить это значение в уравнение: a^2 = (3/2)^2 + h^2 a^2 = 9/4 + h^2 #### Нахождение радиуса сферы Так как каждая вершина треугольника касается сферы, то линия, соединяющая центр сферы и точку касания, представляет собой высоту треугольника. Высота треугольника равна радиусу сферы. Обозначим радиус сферы как R. #### Нахождение площади поверхности шара Площадь поверхности шара можно найти с помощью формулы: S = 4πR^2 Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, нам нужно выразить R через известные значения. Обратимся к треугольнику еще раз: a^2 = 9/4 + h^2 a^2 - h^2 = 9/4 (a + h)(a - h) = 9/4 #### Нахождение площади поверхности шара (продолжение) Мы можем использовать известные значения для a и h, чтобы найти площадь поверхности шара: S = 4πR^2 S = 4π((a + h)(a - h))^2 Теперь мы можем подставить известные значения для a и h и вычислить площадь поверхности шара. Пожалуйста, предоставьте значения стороны треугольника и высоты, чтобы я мог продолжить вычисления и предоставить вам конечный ответ.