Question

Помогите пожалуйста!!!!!В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены равенства BC=CD, ∠BAC=∠CAD. Какого из следующих условий достаточно потребовать, чтобы четырёхугольник оказался вписанным? Выберите все правильные варианты ответа. AB≠AD AD>BC ∠BCA>90∘ ∠ADC>90∘ ∠ABC=90∘ BD не перпендикулярен AC BD перпендикулярен AC ∠ABC≠∠ADC ∠BCA≠∠ACD

Answer 1

Рассмотрим △BAD.

Дано, что точка С лежит на биссектрисе угла A и серединном перпендикуляре к BD.

Биссектриса и серединный перпендикуляр пересекаются на описанной окружности △BAD (делят дугу BD пополам).

Таким образом, если биссектриса и серединный перпендикуляр НЕ СОВПАДАЮТ, но пересекаются, то точка С лежит на описанной окружности △BAD.

Биссектриса и серединный перпендикуляр не совпадают, если △BAD не равнобедренный (BD - основание).

Достаточные условия:

AB≠AD.

∠BCA>90 (тогда BD не перпендикулярен AC).

BD не перпендикулярен AC.

∠ABC≠∠ADC (тогда ABD≠ADB).

∠BCA≠∠ACD (тогда CA не биссектриса в BCD, следовательно не серединный перпендикуляр).

Answer 2

I found some information about your question on the web. Here is a summary of what I learned:

- A convex quadrilateral ABCD is inscribed in a circle if and only if the opposite angles are supplementary, that is, ∠A + ∠C = 180∘ and ∠B + ∠D = 180∘. - Given that BC = CD and ∠BAC = ∠CAD, we can use the following facts to prove that ABCD is inscribed in a circle: - The angle bisector of an angle in a triangle divides the opposite side in the same ratio as the adjacent sides. - The perpendicular bisector of a chord passes through the center of the circle. - The angle subtended by an arc at the center of a circle is double the angle subtended by the same arc at any point on the circumference. - Therefore, if we can show that C is the center of the circle that passes through A, B, and D, then we can conclude that ABCD is inscribed in a circle. - To do this, we need to show that either: - AC is the perpendicular bisector of BD, or - AC is the angle bisector of ∠BDA and ∠ADC. - The first condition is equivalent to saying that BD is perpendicular to AC, or that ∠ABC = 90∘ or ∠ADC = 90∘. - The second condition is equivalent to saying that AB/AD = BC/CD, or that AB ≠ AD and BC/CD = 1 (since BC = CD). - Therefore, any of the following conditions are sufficient to require that ABCD be inscribed in a circle: - BD is perpendicular to AC - ∠ABC = 90∘ - ∠ADC = 90∘ - AB ≠ AD and BC/CD = 1

I hope this helps you understand the problem better.

: [Inscribed and circumscribed circles](https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_and_circumscribed_circles