Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены равенства BC=AD, ∠BAC=∠ACD. Какого из следующих условий достаточно потребовать, чтобы четырёхугольник оказался вписанным? 1)AB≠CD 2) ∠BCA>90∘ 3)AD>AB 4)∠ABC≠∠ADC 5)BD не перпендикулярен AC 6)BC не параллелен AD 7)∠BCA≠∠CAD 8)∠ABC=90∘

Answer 1

ABCD - выпуклый четырехугольник, в нем по условию ∠BAC=∠ACD, а это внутренние накрест лежащие при прямых СD и АВ, и секущей АС, значит, по признаку параллельности прямых СD и АВ параллельны. ВC=AD.

Четырехугольник окажется вписанным, если сумма противоположных углов равна 180°.    Параллелограмм, который вписан в окружность, может быть только прямоугольником. /как частный случай прямоугольника - квадрат./

А если стороны АD и ВС не параллельны, то это будет равнобедренная трапеция.

Равнобедренной трапецией этот четырехугольник будет,

если добавить условия

1) AB≠CD; /верхнее и нижнее основания у трапеции различные./ и

6)BC не параллелен AD;/боковые стороны не параллельны/,  7) ∠BCA≠∠CAD; /при равенстве этих углов противолежащие углы равны, в сумме 180°, тогда трапеция не получим./

Если же добавить условие 8)∠ABC=90∘ то и угол С станет тоже прямым, поскольку ВС будет перпендикулярно к одной из двух параллельных прямых АВ, он окажется перпендикуляром и к СD, 3)AD>AB; значит, четырехугольник окажется прямоугольником. около него тоже можно описать окружность, центр ее - точка пересечения

диагоналей.  если не учитывать 3)AD>AB, то можем допустить, что эти смежные стороны равны, тогда  из прямоугольника получим квадрат.

наконец, окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Но данных в условии не хватает для этого.

Ответ 1), 6), 7, или 8)

Answer 2

При ВС=АД и равных углах ВАС и АСД (накрест лежащие при СД║АВ и секущей АС) АВСД - равнобедренная трапеция, прямоугольник или квадрат.

Условия 1) и 6) требуется для трапеции, но не требуется для квадрата и прямоугольника.

Условия 2-5, 7  не влияют на р/б трапецию.

Условия 3,5 нужны для прямоугольника.

При 8 условии получим квадрат или прямоугольник.

Все вписываются в окружность.

Ответ: или 1 и 6; или 8.

Answer 3

Чтобы четырёхугольник ABCD оказался вписанным (описанным около окружности), достаточно потребовать следующее условие:

4. ∠ABC ≠ ∠ADC

Это условие гарантирует, что углы при основаниях треугольников ABC и ADC не равны друг другу. В таком случае, углы на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, также не равны друг другу, и следовательно, четырёхугольник ABCD будет вписанным в окружность.