Question

В правильный тетраэдр SABC с ребром 4 см вписан правильный октаэдр NPFMKR, где точки N,P,F,M,K,R середины ребер тетраэдра соответственно AS, SB, SC, AC, AB, CB. Найдите длину все ребер октаэдра.

Answer 1

Длины всех рёбер октаэдра как средние линии треугольников тетраэдра равны половине длины этого тетраэдра.

Каждое ребро октаэдра равно 4/2 = 2.

В октаэдре 12 рёбер.

Ответ: длина всех рёбер октаэдра равна 12*2 = 24 см.

Answer 2

Для начала построим рисунок данного тела. ``` Здесь я посторил рисунок, где |AB| = 4 см A_______B |\ /| | \ C / | | \ / | |___X___| S D | \ E / | |__\_/__| ``` Из рисунка можно видеть, что ребро «sc», является диагональю грани сb, поэтому оно равно ребру AC, равному 4 см. Теперь рассмотрим грань «acb». Заметим, что SF – средняя линия грани abe, поэтому она равна половине ребра ab, равному 4/2 = 2 см. Точно так же, NR является диагональю грани ace и также равно половине ребра ac. Поскольку CBF является равнобедренным треугольником с основанием BC и высотой FS, то ребро CF является высотой этого треугольника. Разделим его на три части: CN = 1/3 * CF, NP = 1/3 * CF и PF = 1/3 * CF. Также можно заметить, что треугольники FAN и ERM равнобедренные. Подведем все результаты: | SA | = | CF | = | CB | = 4 см (из рисунка) | SC | = | AC | = 4 см (из рисунка) | AB | = 4 см (из условия задачи) | SF | = | NR | = 2 см (из рисунка) | AN | = | ER | = 2/3 * | AF | = 2/3 * 2 см = 4/3 см | NE | = | RM | = 2/3 * | NR | = 2/3 * 2 см = 4/3 см | CF | = | CF | = 1/3 * | CF | + 1/3 * | CF | + 1/3 * | CF | = 1/3 * | CF | + 1/3 * | CF | + 1/3 * | CF | = CF | FB | = | SB | = | SC | + | CF | = 4 см + CF | EA | = | SA | + | AN | = 4 см + 4/3 см = 16/3 см | BC | = | SB | + | CE | = | SC | + | CF | + | NE | + | RM | = 4 см + CF + 4/3 см + 4/3 см = 12/3 см + CF | FA | = | AN | + | NE | + | EA | = 4/3 см + 4/3 см + 16/3 см = 24/3 см = 8 см | AF | = | EA | - | AN | = 16/3 см - 4/3 см = 12/3 см = 4 см | EC | = | SC | + | CF | + | NE | + | RM | = 4 см + CF + 4/3 см + 4/3 см = 12/3 см + CF | RM | = | NR | = 2 см (из рисунка) | AN | = | NE | = 4/3 см (из рисунка) Итак, длины ребер октаэдра: | AB | = 4 см | BC | = 12/3 см + CF | FB | = 4 см + CF | FA | = 8 см | EC | = 12/3 см + CF | AF | = 4 см | RF | = RN + NF = 2 см + 4/3 см = 10/3 см | CE | = 12/3 см + CF | SC | = 4 см | NR | = 2 см | NE | = 4/3 см Для того чтобы получить полное решение, необходимо найти значение ребра CF. Однако из предоставленной информации это невозможно вычислить.