Question

Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведенной к основанию

Answer 1

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.   В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой     Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.   

Answer 2

Для доказательства равенства равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведенной к основанию, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренных треугольников и доказать равенство соответствующих сторон и углов.

Предположим, у нас есть два равнобедренных треугольника ABC и A'B'C' с одинаковой основой BC и медианами AD и A'D', проведенными к основанию BC.

1. Докажем равенство сторон. В равнобедренном треугольнике стороны, выходящие из вершины, равны. Поскольку AD и A'D' - медианы, они также являются высотами и биссектрисами в своих треугольниках. Таким образом, AD и A'D' равны. Учитывая, что сторона BC общая для обоих треугольников, получаем AB = A'B' и AC = A'C'.

2. Докажем равенство углов. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим этот угол в треугольнике ABC как ∠BAC и в треугольнике A'B'C' как ∠B'A'C'. Поскольку AD и A'D' - медианы, они делят углы BAC и B'A'C' пополам. Таким образом, ∠BAD = ∠B'A'D' и ∠DAC = ∠D'A'C'.

Таким образом, мы доказали, что стороны AB = A'B' и AC = A'C' равны, а также углы ∠BAC = ∠B'A'C' равны. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны по основанию и медиане, проведенной к основанию.