Question

Медианы треугольников АВС и А1В1С1 пересекаются соответственно в точках О и О1. Докажите, что АА1 (вектор)+ВВ1(вектор)+СС1(вектор)=3 ОО1(вектор).

Answer 1

Например, так

OO1 = OA + AA1 + A1O1 = -⅓(AB + AC) + AA1 + ⅓(A1B1 + A1C1)

3·OO1 = -⅓(AB+AC+BC+BA+CA+CB) + AA1 + BB1 + CC1 + ⅓(A1B1+A1C1+B1C1+B1A1+C1A1+C1B1) =
AA1 + BB1 + CC1.

Answer 2

АА1=АО+ОО1+О1А1 ВВ1=ВО+ОО1+О1В1 СС1=СО+ОО1+О1С1 АО+ВО+СО=0 А1О1+В1О1+С1О1=0 АА1+ВВ1+СС1=ОО1*3

Answer 3

Для доказательства этого факта воспользуемся векторными свойствами.
Пусть векторы A, B и C соответствуют сторонам треугольника ABC. Тогда векторы A1, B1 и C1 соответственно соответствуют сторонам треугольника A1B1C1.
Медиана треугольника определяется как вектор, идущий из вершины треугольника в середину противоположной стороны.
Пусть M1, M2 и M3 соответственно являются серединами сторон AB, BC и AC треугольника ABC, а O и O1 - точками пересечения медиан треугольников ABC и A1B1C1.
Заметим, что медианы треугольников ABC и A1B1C1 пересекаются в точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1, то есть MO/OO = 2/1 и MO1/O1O = 2/1.
Теперь рассмотрим векторную сумму АА1+ВВ1+СС1:
АА1+ВВ1+СС1 = (A + A1) + (B + B1) + (C + C1)
Так как A, B и C соответствуют сторонам треугольника ABC, а A1, B1 и C1 соответствуяют сторонам треугольника A1B1C1, то мы можем записать:
A + A1 = 2M1 (так как M1 - середина стороны AB)
B + B1 = 2M2 (так как M2 - середина стороны BC)
C + C1 = 2M3 (так как M3 - середина стороны AC)
Тогда векторная сумма примет вид:
АА1+ВВ1+СС1 = 2M1 + 2M2 + 2M3 = 2(M1 + M2 + M3)
Заметим, что сумма M1 + M2 + M3 равна вектору, идущему из точки O в точку O1 (для простоты обозначим этот вектор как ОО1).
То есть:
M1 + M2 + M3 = ОО1
Наконец, подставим это значение в векторную сумму:
АА1+ВВ1+СС1 = 2(M1 + M2 + M3) = 2ОО1
Так как MO/OO = 2/1 и MO1/O1O = 2/1, то данные отношения равны, а значит, ОО1 равен соответственно MO и MO1.
Тогда окончательно, получаем:
АА1+ВВ1+СС1 = 2ОО1 = 3ОО1