Question

Решите задачки, ну или хотя б одну :) Задача номер 1: Пусть АА1, ВВ1, и СС1 - высоты остроугольного треугольника АВС Найдите площадь треугольника АВС, если А1В1 = 21, А1С1 = 17, В1С1 = 10. Задача номер 2: Пусть АА1, ВВ1, и СС1 - высоты остроугольного треугольника АВС с углом 45° при вершине С: 1)Докажите, что треугольник А1В1С1 прямоугольный - ДОКАЗАНО, можно пользоваться этим; 2) Найти отношение, в котором АА1 делит отрезок В1С1, если ВС = 2В1С1

Answer 1

2) Найти отношение, в котором АА1 делит отрезок В1С1, если ВС = 2В1С1

Answer 2

Задача 1:

Пусть основание треугольника АВ равно а, а высота, проведенная к этой стороне, равна h. Тогда площадь треугольника АВС равна S = (а*h)/2.

Так как треугольник остроугольный, то каждая высота является биссектрисой своего основания. Пусть B1S и C1S - биссектрисы углов АВС и АСВ соответственно, пересекающиеся в точке S. Тогда AS является медианой треугольника АВС, и она делит сторону ВС на две равные части, то есть ВС = 2AS.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1. Так как он прямоугольный, то AB1VC1 является квадратом, а В1С1 = а/2.

Используя теорему Пифагора в треугольниках А1В1С1 и АВС, получаем:

AB1² + B1C1² = AC1², (1) A1B1² + B1C1² = A1C1². (2)

С другой стороны, используя свойство биссектрисы, получаем:

A1B1/AC = A1C1/AB. (3)

Заменим в (3) AC на AB1 + B1C1, а AB на A1B1 + B1C1, и преобразуем выражение:

A1B1/(AB1 + B1C1) = A1C1/(A1B1 + B1C1). Отсюда получаем:

A1B1/A1C1 = (AB1 + B1C1)/(A1B1 + B1C1). (4)

Из (1) и (2) получаем:

AB1² = A1B1² - B1C1², AC1² = A1C1² - B1C1². (5)

Подставим (5) в (4) и преобразуем выражение:

A1B1/A1C1 = (AB1 + B1C1)/(A1B1 + B1C1) = (sqrt(A1B1² - B1C1²) + B1C1)/(sqrt(A1C1² - B1C1²) + B1C1).

Теперь можем найти стороны треугольника А1В1С1:

A1B1 = sqrt(21² - 10²) = 19, A1C1 = sqrt(17² - 10²) = 15.

Используя формулу площади треугольника через высоту, получаем:

S = (A1B1 * A1C1)/2 = 142.5.

Ответ: площадь треуг