Question

Через вершины А и В треугольника АВС проведены прямые АА1 и ВВ1, причем АА1 ⊥ АВ, АА1 ⊥ АС, ВВ1 ⊥ АВ, ВВ1 ⊥ ВС. Докажите, что АА1 ΙΙ ВВ1.

Answer 1

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ("Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости") АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости АВС.
АА1 ⊥ АВ, АА1 ⊥ АС, АВ ∩ АС ⇒ АА1 ⊥ (АВС)
ВВ1 ⊥ АВ, ВВ1 ⊥ ВС, АВ ∩ ВС ⇒ ВВ1 ⊥ (АВС)
Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны.
АА1 ⊥ (АВС), ВВ1 ⊥ (АВС) ⇒ АА1 ΙΙ ВВ1

Answer 2

Для доказательства того, что прямые АА1 и ВВ1 параллельны, мы можем использовать свойства перпендикулярных прямых и свойства треугольника.

Свойства перпендикулярных прямых:

- Если прямая АА1 перпендикулярна к прямой АВ и перпендикулярна к прямой АС, то она параллельна плоскости АВС. - Если прямая ВВ1 перпендикулярна к прямой АВ и перпендикулярна к прямой ВС, то она параллельна плоскости АВС.

Свойства треугольника:

- В треугольнике АВС, если прямая АА1 перпендикулярна к стороне АВ и перпендикулярна к стороне АС, то она проходит через вершину А. - В треугольнике АВС, если прямая ВВ1 перпендикулярна к стороне АВ и перпендикулярна к стороне ВС, то она проходит через вершину В.

Доказательство:

Из свойств перпендикулярных прямых следует, что прямая АА1 параллельна плоскости АВС, а прямая ВВ1 также параллельна плоскости АВС.

Также, из свойств треугольника следует, что прямая АА1 проходит через вершину А, а прямая ВВ1 проходит через вершину В.

Таким образом, обе прямые АА1 и ВВ1 параллельны плоскости АВС и проходят через вершины А и В соответственно. Следовательно, АА1 параллельна ВВ1.

Такое доказательство подтверждает, что прямые АА1 и ВВ1 параллельны.