Question

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=4, BC=7, CD=12. Найдите AD

Answer 1

Ответ: AD=9

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон синусов для треугольника ABC. Закон синусов гласит:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

где $a$, $b$, и $c$ - стороны треугольника, а $A$, $B$, и $C$ - их противолежащие углы.

В нашем случае треугольник ABC - это треугольник, образованный сторонами AB, BC и диаметром, проведенным к точке пересечения диагоналей. Пусть $AD = x$, а радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD, равен $R$.

Теперь мы можем использовать закон синусов для треугольника ABC:

$\frac{4}{\sin(\angle ABC)} = \frac{7}{\sin(\angle BCA)} = \frac{2R}{\sin(\angle ACB)}$

Мы знаем, что угол при вершине центральный (угол, опирающийся на диаметр), поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. Также, $\angle ABC = \angle BCA$ (так как AB = BC), поэтому мы можем записать:

$\frac{4}{\sin(\angle ABC)} = \frac{7}{\sin(\angle ABC)} = \frac{2R}{\sin(90^\circ)}$

Теперь, используя любой из первых двух частей уравнения, мы можем выразить $\sin(\angle ABC)$. Давайте воспользуемся первой частью:

$\frac{4}{\sin(\angle ABC)} = \frac{7}{\sin(\angle ABC)}$

Отсюда:

$4 = 7 \cdot \sin(\angle ABC)$

Теперь найдем значение $\sin(\angle ABC)$:

$\sin(\angle ABC) = \frac{4}{7}$

Теперь мы можем использовать значение $\sin(\angle ABC)$ и вторую часть уравнения:

$\frac{7}{\sin(\angle ABC)} = \frac{2R}{\sin(90^\circ)}$

Подставим значение $\sin(\angle ABC)$ и решим уравнение:

$\frac{7}{\frac{4}{7}} = \frac{2R}{1}$

Упростим:

$7 \cdot \frac{7}{4} = 2R$

$\frac{49}{4} = 2R$

Теперь найдем радиус $R$:

$R = \frac{49}{4 \cdot 2} = \frac{49}{8}$

Теперь мы знаем радиус окружности. Для нахождения диагонали AD мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ACD:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

$AD^2 = R^2 + (12)^2$

$AD^2 = \left(\frac{49}{8}\right)^2 + 12^2$

Теперь решим это уравнение:

$AD^2 = \frac{2401}{64} + 144$

$AD^2 = \frac{2401}{64} + \frac{9216}{64}$

$AD^2 = \frac{11617}{64}$